§00 问题提出

  初等函数 是由 幂函数 （Power function）、 指数函数 （exponential function）、对数函数（logarithmic function）、三角函数（trigonometric function）、反三角函数（inverse trigonometric function）与常熟经过有限次有理运算（加减乘除、有理数次方、有理数次开发）以及有限次函数复合所生，并且能够用一个解析表达式表示的函数。

  在信号处理中，使用初等函数扩展后的函数表达信号可以简化信号表示的形式；注意到函数扩展后的多值性也能够帮助我们掌握信号变换公示背后的联系。

§01 数学原理

1.1 指数函数

1.1.1 定义

  将普通指数函数 $f\left(x\right)=e^x$ 扩展到复变函数 $f\left(z\right)=e^z$ ，希望满足一下三个条件：

  （1） $f\left(z\right)$ 在复平面处处解析；
  （2） $f^{\prime }\left(z\right)=f\left(z\right)$ ；
  （3） 当 $\mathrm{Im}\left(z\right)=0$ 时， $f\left(z\right)=e^x$ ，其中 $x=\mathrm{Re}\left(z\right)$ 。

  定义 $$\exp z=e^z=e^x\left(\cos y+i\sin y\right)$$ 可以满足以上三个条件，它被称为复数 $z=x+iy$ 的指数函数。

这个定义等价为 $$\left|e^z\right|=e^x,Arg\left(e^z\right)=y+2k\pi$$

请注意：这里的 $e^z$ 没有了幂乘的概念，仅仅是替代 $\exp z$ 的作用。

1.1.2 基本性质

（1）加法定理

  跟 $e^x$ 一样， $\exp z$ 也满足加法定理

$$\exp z_1\cdot \exp z_2=\exp \left(z_1+z_2\right)$$

（2）周期性

  指数函数具有周期特性 $$e^{z+2k\pi i}=e^z\cdot e^{2k\pi i}=e^z$$

这个特性是实数指数函数不具备的。

1.2 对数函数

1.2.1 定义

把满足方程 $e^w=z,\left(z\ne 0\right)$ 的函数 $w=f\left(z\right)$ 称为对数函数，令 $w=u+iv$ ， $z=r{e}^{i\theta }$ ，那么 $$e^{u+iv}=r{e}^{i\theta }$$ 所以 $u=\ln r,v=\theta$ ，所以 $$w=\ln \left|z\right|+i\arg z$$

  根据指数函数的周期性，满足 $e^w=z$ 的 $w$ 的取值包括 $$Ln\left(z\right)=\ln z+2k\pi i,\left(k=\pm 1,\pm 2,\cdots \right)$$ 其中 $\ln z$ 是 $z$ 的对数主值，复数的对数是无穷多个，复变数对数是实变数对数的拓广。

1.2.2 基本性质

（1）乘法除法性质

  复变数对数满足以下基本性质：$$Ln\left(z_1{z}_2\right)=Ln\left(z_1\right)+Ln\left(z_2\right)$$$$Ln\left(\frac{z_1}{z_2}\right)=Ln\left(z_1\right)-Ln\left(z_2\right)$$

  由于复数对数是无穷多值，上述等式应该理解为两端可能取的函数值的全体是相同的。在这种意义下，下面的等式就不在成立。

$$\ln z^n=n\ln z,\ln z^{1/n}=\frac{1}{n}\ln z$$其中 $n\in N$ 。

  之所以上面两个等式不成立，主要原因：

• 等式左右都是无穷多取值；
• 这些取值中的虚部，左边包含有 $n\arg z+2k\pi$ ， $k\in Z$ ；但右边则只有 $n\arg z+2kn\pi$ ， $k\in Z$ 。

（2）解析特性

  对数函数 $w=\ln z$ 除了原点与负实轴之外都是连续和解析的。函数的导数为 $$\frac{d\ln z}{dz}=\frac{1}{\frac{d{e}^w}{dw}}=\frac{1}{z}$$

1.3 乘幂与幂函数

1.3.1 复数乘幂定义

  两个复数 $a,b$ ， $a\ne 0$ ，定义乘幂 $a^b$ 为 $$a^b=e^{b\ln a}$$

• 当 $b\in Z$ 时， $a^b$ 具有单一值： $$a^b=e^{bLn\left(a\right)}=e^{b\left[\ln |a|+i\left(\arg a+2k\pi \right)\right]}=e^{b\left(\ln |a|+i\arg a\right)+i2kb\pi }=e^{b\ln a}$$
• 当 $b=p/q$ （ $p,q\in Z$ 且互质 $q>0$ ）时， $a^b$ 有 $q$ 个值： $$a^b=e^{\frac{p}{q}\ln |a|+i\frac{p}{q}2k\pi },k=0,1,\cdots ,q-1$$
• 除此之外， $a^b$ 具有无穷多个值。

  当 $b$ 为正整数 $n$ ，或者分数 $1/n$ ，乘幂则表示对于复数 $a$ 的乘幂和开放运算。

1.3.2 复数幂函数

  如果 $a=z$ 是复变量，则 $w=z^b$ 是一般的幂函数；当 $b$ 属于整数 $n$ 或者分数 $1/n$ 得到的通常的幂函数 $w=z^n,w=z^{1/n}$ 。

$z^n$ 在复平面上是单值解析的； $z^{1/n}$ 是多值函数，具有 $n$ 个分支。 $${\left(z^n\right)}^{\prime }=n\cdot z^{n-1},{\left(z^{\frac{1}{n}}\right)}^{\prime }=\frac{1}{n}{z}^{\frac{1}{n}-1}$$

1.4 三角函数和双曲函数

1.4.1 三角函数定义

  将 欧拉公式 (Euler’s Formula)及其推论推广到复变函数： $$e^{iz}=\cos z+i\sin z$$ $$\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2},\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$$

1.4.2 性质

（1）周期性

  由于 $e^z$ 是以 $2\pi$ 为周期的函数，所以上面定义的 $\cos z,\sin z$ 都是周期为 $2\pi$ 的函数。

（2）对称性

$$\cos \left(-z\right)=\cos z,\sin \left(-z\right)=-\sin z$$

（3）解析性质

$\cos z,\sin z$ 在复平面上都是解析的，且 $${\left(\cos z\right)}^{\prime }=-\sin z,{\left(\sin z\right)}^{\prime }=\cos z$$

1.4.3 三角恒等式

$$\cos \left(z_1+z_2\right)=\cos z_1\cos z_2-\sin z_1\sin z_2$$$$\sin \left(z_1+z_2\right)=\sin z_1\cos z_2+\sin z_2\cos z_1$$$${\sin }^{2}z+{\cos }^{2}z=1$$$$\cos \left(x+iy\right)=\cos x\cos iy-\sin x\sin iy$$$$\sin \left(x+iy\right)=\sin x\cos iy+\cos x\sin iy$$

1.4.4 双曲函数

（1）定义

  双曲余弦、双曲正弦、双曲正切函数分别为：

$$ch\left(z\right)=\frac{e^z+e^{-z}}{2},sh\left(z\right)=\frac{e^z-e^{-z}}{2},th\left(z\right)=\frac{e^z-e^{-z}}{e^z+e^{-z}}$$

（2）恒等式

$$\cos iy=ch\left(y\right),\sin iy=ish\left(y\right)$$$$ch\left(iy\right)=\cos y,sh\left(iy\right)=i\sin y$$

1.5 反三角函数与反双曲函数

1.5.1 反三角函数

  设 $z=\cos w$ ，称 $w$ 为 $z$ 的反余弦函数，记作 $$w=Arc\cos z$$ 计算 $Arc\cos z$ 可以通过如下公式实现 $$Arc\cos z=-i\ln \left(z+\sqrt{z^2-1}\right)$$

  同样可以定义$$Arc\sin z=-iLn\left(iz+\sqrt{1-z^2}\right)$$$$Arc\tan z=-\frac{i}{2}Ln\frac{1+iz}{1-iz}$$

1.5.2 反双曲函数

$$Arsh\left(z\right)=Ln\left(z+\sqrt{z^2+1}\right)$$$$Arch\left(z\right)=Ln\left(z+\sqrt{z^2-1}\right)$$$$Arth\left(z\right)=\frac{1}{2}Ln\frac{1+z}{1-z}$$

§02 应用举例

2.1 求解复数对数

  求 $Ln2,Ln\left(-1\right)$ 以及与它们对应的主值。

  求解： 因为 $Ln2=\ln 2+2k\pi i$ ，所以它的主值为 $\ln 2$ 。

$Ln\left(-1\right)=\ln 1+iArg\left(-1\right)=\left(2k+1\right)\pi i$ ，它的主值为 $\ln \left(-1\right)=\pi i$ 。

2.2 求解复数乘幂

  求 $1^{\sqrt{2}}$ 和 $i^i$ 的取值。

  求解： $$1^{\sqrt{2}}=e^{\sqrt{2}Ln1}=e^{2k\pi i\sqrt{2}}=\cos \left(2k\pi \sqrt{2}\right)+i\sin \left(2k\pi \sqrt{2}\right)$$ 其中 $k=0,\pm 1,\pm 2,\cdots$

$$i^i=e^{iLni}=e^{i\left(\frac{\pi }{2}i+2k\pi i\right)}=e^{-\left(\frac{\pi }{2}+2k\pi \right)},\left(k=0,\pm 1,\pm 2,\cdots \right)$$

§03 信号与系统

3.1 典型信号

  信号与系统分析中，特别关注了一类信号，被称为线性时不变系统的特征信号。这类信号包括有指数信号、正弦信号以及它们的组合。

• 指数信号： $f\left(t\right)=A{e}^{-at}$
• 正弦震荡信号： $f\left(t\right)=A\sin \left(\omega t+\theta \right)$
• 指数震荡信号： $f\left(t\right)=E{e}^{-at}\sin \left(\omega t+\theta \right)$

  这些信号经过线性时不变系统后，输出信号的形式不变，只是幅值和相位发生变化。

这类信号可以统一表示成复指数信号 $$f\left(t\right)=k\cdot e^{st}=r\cdot e^{i\theta }{e}^{\left(\sigma +i\omega \right)t}$$ 其中 $r=\left|k\right|,\theta =\arg k,s=\sigma +i\omega$

  由此可以看到，使用复指数所能表示的信号更加丰富，形式更加简介。这一点在之后用在傅里叶变换的基函数中更能体现出复指数信号的优点。

3.2 函数的多值性

  对于普通的初等函数，基本上都是单值的，但扩展到复数的初等函数往往都具有多值，甚至无穷多的函数值。理解和掌握这一点特点，可以让我们更容易看清信号处理公式背后的联系。

3.2.1 周期信号的Laplace变换

  对于周期信号进行Laplace变换，可以利用Laplace的位移特性，从它最左边单个周期信号的Laplace变换结果上，增加 $1/\left(1-e^{-sT}\right)$ 表示对位移级数累加的结果。

  由此可以得到周期冲激信号的Laplace变换结果。

3.2.2 离散信号的Laplace变换

  离散信号的Laplace变换，可以看成信号与周期冲激信号的乘积。它的Laplace变换可以看成信号的Laplace变换与周期冲激信号的Laplace变换在 $s$ 域的卷积。

  下面是重点了，计算离散时间信号在 $s$ 域内的卷积过程中，利用留数定理需要确定积分函数中的极点。这需要对 $1-e^{-\left(s-p\right)T}$ 所对应的零点进行分析。这里就需要指导，对于复变函数，该公式的零点具有无穷多个，而且它们之间相差 $2k\pi i$ 。因此最终会得到离散信号的Laplace变换是对应连续信号Laplace变换在 $s$ 域沿着虚轴进行周期延拓的结果。

  这一点与离散信号的傅里叶变换的结论能够相统一起来。

§04 作业练习

4.1 指数与对数取值

4.1.1 复数指数

  求 $$e^{1-i\frac{\pi }{2}}$$ , $\exp \left[\left(1+i\pi \right)/4\right]$ , $3^i$ 和 ${\left(1+i\right)}^i$ 的值。

4.1.2 复数对数

（1）求复数对数数值

  求 $Ln\left(-i\right),Ln\left(-3+4i\right)$ 和它们的主值。

（2）复数对数特殊性

  说明下列等式对于复数对数为什么不成立。

  （1） $Ln\left(z^2\right)=2Ln\left(z\right)$
  （2） $$Ln\sqrt{z}=\frac{1}{2}Ln\left(z\right)$$

提示：主要从等式左右两边无穷取值的虚部的不同来说明上面对数等式不成立。

4.2 三角函数

4.2.1 求解初等函数方程的根

  找出下列方程的全部解。

  （1） $\sin z=0$
  （2） $\cos z=0$
  （3） $1+e^z=0$
  （4） $\sin z+\cos z=0$

4.2.2 三角函数特殊性

  试说明：

  （1） 当 $y\to +\infty$ 时， $\left|\sin \left(x+iy\right)\right|$ 和 $\left|\cos \left(x+iy\right)\right|$ 趋向于无穷大；
  （2） 当 $t$ 为复数时， $\left|\sin \left(t\right)\right|\le 1$ 和 $\left|\cos \left(t\right)\right|\le 1$ 不再成立。

4.3 编程实验

  利用MATLAB、Python的3DPlot的功能，观察初等函数的图像，理解它们与普通的初等函数之间的差异。

  下面给出了三角函数和双曲正弦函数的函数图形。

4.3.1 三角函数

from headm import *
from mpl_toolkits.mplot3d   import Axes3D
from matplotlib import cm
import mpmath

mpmath.dps = 5

def arg2(x):
    return mpmath.sin(mpmath.arg(x))

f = lambda z: sin(z)

X = arange(-5, 5, 0.1)
Y = arange(-1.5, 1.5, 0.1)
X,Y = meshgrid(X,Y)
xn, yn = X.shape

W = X*0
for xk in range(xn):
    for  yk in range(yn):
        try:
            z = X[xk,yk] + 1j*Y[xk,yk]
            w = abs(f(z))
            if w != w:
                raise ValueError
            W[xk,yk] = w
        except(ValueError, TypeError, ZeroDivisionError):
            pass

    printf(xk, xn)

ax = plt.axes(projection='3d')
ax.plot_surface(X, Y, W, rstride=1, cstride=1, cmap=cm.jet)
plt.xlabel('Real(z)')
plt.ylabel('Image(z)')
plt.title('abs(f)')
plt.show()

■ 相关文献链接:

• 初等函数
• 幂函数
• 指数函数
• 欧拉公式

● 相关图表链接:

• 不同k值对应的实部和虚部
• 图3.1.1 典型信号
• 图3.1.2 复指数信号
• 图3.2.1 单边周期信号的Laplace变换
• 图3.2.2 周期冲激信号的Laplace变换
• 图3.2.3 离散信号可以看成信号与周期冲激信号的乘积
• 图3.2.4 s域中的卷积过程
• 图4.3.1 三角函数的模的函数图像
• 图4.3.2 双曲正弦函数图像