§01 数学原理

1.1 孤立奇点

1.1.1 孤立奇点定义

如果函数 $f\left(z\right)$ 在 $z_0$ 的某一个去心邻域 $0<\left|z-z_0\right|<\delta$ 内处处解析，那末称 $z_0$ 是 $f\left(z\right)$ 的孤立奇点。

• 孤立奇点举例： $1/z,e^{1/z}$

• 非孤立奇点举例： ${\sin }^{-1}\left(1/z\right)$

1.1.2 孤立奇点分类

（1）可去奇点

  如果在洛朗级数中不包含 $z-z_0$ 的负幂次项，那么称孤立奇点 $z_0$ 为 $f\left(z\right)$ 的可去奇点；

• 可去奇点举例： $$\frac{\sin z}{z}=\frac{1}{z}\left(z-\frac{1}{3!}{z}^3+\frac{1}{5!}{z}^5-\cdots \right)=1-\frac{1}{3!}{z}^2+\frac{1}{5!}{z}^4-\cdots$$

（2）极点

  如果在洛朗级数中只有有限多个 $z-z_0$ 的负幂次项，其中关于 ${\left(z-z_0\right)}^{-1}$ 最高幂为 ${\left(z-z_0\right)}^{-m}$ ，那么孤立奇点 $z_0$ 称为 $f\left(z\right)$ 的 $m$ 级极点。此时， $f\left(z\right)$ 可以写成

$$f\left(z\right)=\frac{1}{{\left(z-z_0\right)}^m}g\left(z\right)$$

如果 $z_0$ 为 $f\left(z\right)$ 的极点，那么 $$\underset{z\to z_0}{\lim }f\left(z\right)=\infty ,\underset{z\to z_0}{\lim }\left|f\left(z\right)\right|=+\infty$$

（3）本性奇点

  如果在洛朗级数中包含有无穷多个 $z-z_0$ 的负幂次项，那么孤立奇点 $z_0$ 称为 $f\left(z\right)$ 的本性奇点。

• 本性奇点举例： $f\left(z\right)=e^{\frac{1}{z}}$ 的本性奇点为 $z_0=0$ 。

1.2 零点与极点

1.2.1 零点定义

  如果解析函数 $f\left(z\right)$ 可以表示成 $f\left(z\right)={\left(z-z_0\right)}^m\varphi \left(z\right)$ ，其中 $\varphi \left(z\right)$ 在 $z_0$ 解析，且 $\varphi \left(z_0\right)\ne 0$ ， $m\in R$ 。那么 $z_0$ 称为 $f\left(z\right)$ 的 $m$ 级零点。

1.2.2 零点充要条件

  如果 $f\left(z\right)$ 在 $z_0$ 解析， $z_0$ 为 $f\left(z\right)$ 的 $m$ 级零点的充要条件是 $$f^{\left(n\right)}\left(z_0\right)=0,\left(n=0,1,2,\cdots ,m-1\right),f^{\left(m\right)}\left(z_0\right)\ne 0$$

1.2.3 零点与极点的关系

  如果 $z_0$ 是 $f\left(z\right)$ 的 $m$ 级极点，那么 $z_0$ 就是 ${\left[f\left(z\right)\right]}^{-1}$ 的 $m$ 级零点。反过来也成立。

1.3 无穷远点

1.3.1 无穷远点为孤立奇点

如果函数 $f\left(z\right)$ 在 $z=\infty$ 的去心邻域 $R<\left|z\right|<+\infty$ 内解析，那么称 $\infty$ 为 $f\left(z\right)$ 的孤立奇点。

1.3.2 无穷远点奇点分类

  令 $t=z^{-1}$ ，那么 $f\left(z\right)=f\left(t^{-1}\right)=\varphi \left(t\right)$ 定义了函数 $\varphi \left(t\right)$ ， $f\left(z\right)$ 在无穷远点处的特性与 $\varphi \left(t\right)$ 在 $t=0$ 处相同。规定 $t=0$ 处的 $\varphi \left(t\right)$ 关于孤立奇点的性质为 $f\left(z\right)$ 在 $\infty$ 处的奇点的性质。

§02 应用举例

2.1 判断奇点特性

  函数 $$f\left(z\right)=\frac{\left(z^2-1\right){\left(z-2\right)}^3}{{\left(\sin \pi z\right)}^3}$$ 在扩充平面内有些什么类型的奇点？如果是极点，指出他的级。

求解： 可以判断函数 $f\left(z\right)$ 在分母为0的点 $z=0,\pm 1,\pm 2,\cdots$ 之外，在 $\left|z\right|<+\infty$ 内解析。由于 ${\left(\sin \pi z\right)}^{\prime }=\pi \cos \pi z$ 在 $z=0,\pm 1,\pm 2,\cdots$ 处均不为0，所以这些点都是 $\sin \pi z$ 的 一级零点，从而使 ${\left(\sin \pi z\right)}^3$ 的三级零点。所以这些点中除去 $1,-1,2$ 之外都是 $f\left(z\right)$ 的三级极点。

  因为 $z^2-1=\left(z-1\right)\left(z+1\right)$ ，所以 $1,-1$ 为一级零点，因此 $1,-1$ 都是 $f\left(z\right)$ 的2级极点。

  对于 $z=2$ ，因为$$\underset{z\to 2}{\lim }f\left(z\right)=\underset{z\to }{\lim }\frac{\left(z^2-1\right){\left(z-2\right)}^3}{{\left(\sin \pi z\right)}^3}=\underset{z\to }{\lim }\left(z^2-1\right){\left(\frac{z-2}{\sin \pi z}\right)}^3$$$$=\underset{\zeta \to 0}{\lim }\left[{\left(\zeta +2\right)}^2-1\right]{\left(\frac{\pi \zeta }{\sin \pi \zeta }\right)}^3\cdot \frac{1}{{\pi }^3}=\frac{3}{{\pi }^3}$$

  所以 $z=2$ 是 $f\left(z\right)$ 的可去奇点。

  关于 $z=\infty$ ，因为 $$f\left(\frac{1}{\zeta }\right)=\frac{\left(1-{\zeta }^2\right){\left(1-2\zeta \right)}^3}{{\zeta }^3{\sin }^3\pi /\zeta }$$ 可以知道 $\zeta =0,{\zeta }_n=1/n$ 使得分母为0，当 $n=1$ 时， ${\zeta }_1=1,$ 即 $z=1$ ；当 $n=2$ 时， ${\zeta }_2=1/2$ ，即 $z=2$ 。这两点上面已经讨论过。

  当 $n>2$ 时， ${\zeta }_n=1/n$ 为 $f\left(1/\zeta \right)$ 的极点。

  当 $n\to \infty$ 时， ${\zeta }_n\to 0$ 。所以 $\zeta =0$ 不是 $f\left(1/\zeta \right)$ 的孤立奇点，也就是 $z=\infty$ 不是 $f\left(z\right)$ 的孤立奇点。

§03 信号与系统

  在信号与系统中，关于孤立奇点的应用大部分集中在对于系统函数的极点、零点的分析上。同时根据他们的分布，来进一步确定系统函数的收敛域。

  在进行Laplace反变换、z反变换中，利用孤立奇点上的留数计算反变换后的信号表达式，这是完成复变函数积分的最有效的方法。

§04 作业练习

4.1 判断孤立奇点性质

4.1.1 判断奇点以及级数

  下列函数有些什么奇点？如果是极点指出它的级数。

$$\left(1\right)\frac{1}{z{\left(z^2+1\right)}^2};\left(2\right)\frac{\sin z}{z};$$$$\left(3\right)\frac{1}{z^3-z^2-z+1};\left(4\right)\frac{\ln \left(z+1\right)}{z};$$$$\left(5\right)\frac{z}{\left(1+z^2\right)\left(1+e^{\pi z}\right)};\left(6\right)\frac{1}{e^{z-1}};$$$$\left(7\right)\frac{1}{z^2\left(e^z-1\right)};\left(8\right)\frac{z^{2n}}{1+z^n},n\in R$$$$\left(9\right)\frac{1}{\sin z^2}$$

4.1.2 验证

  验证： $z=\pi i/2$ 是 $ch\left(z\right)$ 的一级零点。

4.1.3 判断极点级数

$z=0$ 是函数 ${\left[\sin z+sh\left(z\right)-2z\right]}^{-2}$ 几级极点？