前言

动态规划这类问题一直是大家学习算法，平时练习中遇到的最难的问题之一。其中有一类问题是线性的，也叫他线性DP。今天我们一起来分析一下最长上升子序列I。

题目信息

给定一个长度为 N 的数列，求数值严格单调递增的子序列的长度最长是多少。

注意：这里的子序列要求是严格单调递增的。例如 1，2，3，4。不能是1，1，2，3，4。

输入格式

第一行包含整数 N。
第二行包含 N 个整数，表示完整序列。

输出格式

输出一个整数，表示最大长度。

数据范围

本题数据范围：
1≤N≤100000， −109≤数列中的数≤109
算法题的主要目的还是在能做出来的前提下，优化算法的时间复杂度，所以题目的数据范围就是一个很需要关注的点了。

样例

输入：
7 3 1 2 1 8 5 6

输出:
4

思路

原分析思路作者：闫学灿。网站AcWing

可能只有一个图看得不是很懂。给大家举一个例子。

3 1 2 1 8 5 6

解释：
集合：状态表示的集合的意思就是以某个数为结尾的集合。比如8这个数的集合就包括，{1,8}，{3，8}，{2,8}，{1,8}；

属性：但是f[i]是一个具体的值。这个值就表示在这些集合中最长的集合长度。这里就是2了。

状态计算: 因为每个集合都是以第i个数为结尾的，那么就说明每个数都包含了i这个数。下面的椭圆表示的是将这些集合以第i-1个数分成若干类。

第一种：第i-1个数是0，也就是说子序列的长度是1，他没有第i-1个数
第二种：第i-1个数是1，它的最长上升子序列的长度就是 i-1+ i,即f[1]+1
第三种：第i-2个数是2，它的最长上升子序列的长度就是 i-2+ i,即f[2]+1
…
第i-1种：第i-1个数是i-1，它的最长上升子序列的长度就是 i-1+ 1,即f[i-1]+1

需要注意的是这些序列不一定都存在，因为是最长上升子序列，所以还需要满足，a[i]>a[j]。因为i是最后一个数，j一定是比他小的。

好了，思路完了就可以开始写代码了。

代码

import java.util.Scanner;
public class Main {
    
    
    static  int N=1010;
    //题目给的子序列
    static  int a[]=new int[N];
    //状态表示的数组
    static  int f[]=new int[N];
    public static void main (String[] args) {
    
    
        Scanner sc=new Scanner (System.in);
        int n=sc.nextInt ();
        for (int i = 1 ; i <=n  ; i++) {
    
    
            a[i]=sc.nextInt ();
        }
        //f[i]表示最长上升子序列的最大长度
        for (int i = 1 ; i <=n  ; i++) {
    
    
            f[i]=1;
            //f[i]=1  这时只有i一个数，所以f[1]=1;
            for (int j = 1 ; j <i  ; j++) {
    
    
              if(a[j]<a[i]){
    
    
                    f[i]=Math.max (f[i],f[j]+1);
                }
            }
        }
        //求出所有f的集合后，在遍历一遍f，求出最长的子序列的长度。
        int res=0;
        for (int i = 1 ; i <=n  ; i++) {
    
    
            res=Math.max (res,f[i]);
        }
        System.out.println (res);
    }
}