欧拉函数
表示小于等于
的数中与
互质的数的个数
引理:
1. 如果
为素数
,则
2. 如果
为某个素数
的幂次
,则
3. 如果
为任意两个互质的数
的乘积,则
继续推导,可得:
4. 将
分解为素数幂乘积形式,即
那么可得
我还能推:
5.
的所有因子的欧拉函数和为
推导过程: 将 分解为素数幂乘积形式,即 ,设已经处理完前 个因子,设前 个因子所能形成的数的所有因子的欧拉函数和为 .加入素因子 ,则对答案的贡献为 ,将其与原答案合并得: .化简即可得 .推广一下,即
欧拉定理: 若
与
互质,则
其实费马小定理就是欧拉定理的一种特殊情况(
为质数,则
)
求欧拉函数
质因数分解法
推出单个欧拉函数
利用引理1,4直接推即可
代码实现如下:
int get_phi_single(int x) {
int ans=x;
for(int i=2;i*i<=x;i++)
if(x%i==0) {
ans=ans/i*(i-1);
while(x%i==0) x/=i;
}
if(x!=1) ans=ans/x*(x-1);
return ans;
}
线性算法
推出1~n的欧拉函数
利用引理1,4直接推即可,同时将质数筛了出来
代码实现如下:
int get_phi() {
for(int i=2;i<size;i++) {
if(!check[i]) {
prime[++top]=i;
phi[i]=i-1;
}
for(int j=1;j<=top && i*prime[j]<size;j++) {
check[i*prime[j]]=1;
if(i%prime[j]==0) {
phi[i*prime[j]]=prime[j]*phi[i];
break;
}
else phi[i*prime[j]]=(prime[j]-1)*phi[i];
}
}
}
题目:
[SDOI2012]Longge的问题
奇数国
Visible Lattice Points
[SDOI2008]仪仗队
[Sdoi2008]沙拉公主的困惑
上帝与集合的正确用法