同济大学出版的高等数学无穷级数这一章,关于常数项级数的审敛法,证明p级数敛散性问题,对其积分法不甚明了,所以记录下自己思索的过程:
讨论p级数:
的收敛性,其中常数 >0
第一个问题用比较审敛法很好证明,我顺利的明白了。
即当
时,有
,调和级数是发散的,按照比较审敛法:
若
是发散的,在n>N,总有
,则
也是发散的。
调和级数
是发散的,那么p级数也是发散的~!
第二个条件则证明变得繁琐:
当p>1时,证明的思路大概就是对于每一个整数,我们取一个邻域区间,使邻域区间
使得某个函数在 邻域区间内的积分小于 在这个邻域区间的积分。然后目的当然是通过积分求指数原函数解决问题。
这个证明的比较函数取的很巧妙,,令
,那么
.
利用比较审敛法的感觉,应该找一个比p级数的一般式大的收敛数列,证明p级数收敛。这个就有点反套路了。
其中
讨论级数和,用k的形式代表p级数,并且用一个大于它的函数来求得极限。
这里利用积分区间的可加性:
求一下初等函数的原函数就搞定了!呵呵,只能说这个思路不太容易想到。