很多游戏描述的世界都会含有流体表面,他们可能是个水池,可能是桶强酸,或者一个熔岩坑。为使这些对象的表面如同物理世界一样,需要模拟波在液体表面的扰动传播方式。
波动方程
波动方程是一个偏微分方程,表示为在恒定张力下的一维线或二维面上每一个点的运动方式
一维线波动方程为:\[\frac{dy^2}{dt^2} =c^2 * \frac{dy^2}{dx^2}\] c为波速,x,y是二维笛卡尔坐标系的2个维
二维面波动方程为 \[\frac{dz^2}{dt^2} =c^2 *(\frac{dz^2}{dx^2}+ \frac{dz^2}{dy^2})\] z为x,y轴构成平面的第三维
由于波速会因为粘性阻尼力衰减,所以水面的波动方程如下
\[\frac{dz^2}{dt^2} =c^2 *(\frac{dz^2}{dx^2}+ \frac{dz^2}{dy^2}) - u \frac{dz}{dt}\] u为液体粘稠度,用以控制波在液体表面的存在时间
近似导数
实时仿真波动方程需要大量的计算,所以使用近似导数简化方程
近似导数如下
\[\frac{dz(x,y,t)}{dx} =\frac{z(x+dx,y,t) - z(x-dx,y,t)}{2dx}\]
所以可得
\[\frac{dz^2(x,y,t)}{dx^2} =\frac{z(x+dx,y,t) - z(x-dx,y,t)-2z(x,y,t)}{2dx^2}\]
同理
\[\frac{dz(x,y,t)}{dt} =\frac{z(x,y,t+dt) - z(x,y,t-dt)}{2dt}\]
\[\frac{dz^2(x,y,t)}{dt^2} =\frac{z(x,y,t+dt) - z(x,y,t-dt)-2z(x,y,t)}{2dt^2}\]
\[\frac{dz^2(x,y,t)}{dt^2} =\frac{z(x,y+dy,t) - z(x,y-dy,t)-2z(x,y,t)}{2dy^2}\]
计算液体表面平移
由之前的近似表达式易得
\[\frac{z(x,y,t+dt) - z(x,y,t-dt)-2z(x,y,t)}{2dt^2} = c^2*\frac{z(x+dx,y,t) - z(x-dx,y,t)-2z(x,y,t)}{2dx^2} + c^2* \frac{z(x,y+dy,t) - z(x,y-dy,t)-2z(x,y,t)}{2dy^2} - u\frac{z(x,y,t+dt) - z(x,y,t-dt)}{2dt}\]
使dx =dy = d易得最终方程如下
\[z(x,y,t+dt) = \frac{4 - 8*c^2t^2/d^2}{ut+2} +\frac{ut-2}{ut+2}*z(x,y,t-dt)+\frac{2c^2t^2/d^2}{ut+2}*(z(x+dx,y,t)+z(x-dx,y,t)+z(x,y+dy,t)+z(x,y-dy,t))\]
稳定条件
如果波速c太快,或者dt时间段太长,使位移发散为无穷大,需要约束c或t,约束如下
\[0<c<\frac{d}{2t}\sqrt{ut+2}\]
\[0<t<\frac{u-sqrt{u^2+32c^2/d^2}}{8c^2/d^2}\](\[\frac{u-sqrt{u^2+32c^2/d^2}}{8c^2/d^2}>0\])或\[0<t<\frac{u+sqrt{u^2+32c^2/d^2}}{8c^2/d^2}\](\[\frac{u-sqrt{u^2+32c^2/d^2}}{8c^2/d^2}<0\])
参考资源
Mathematics for 3D Game Programming and Computer Graphics, Third Edition