第1章 线性代数中的线性方程组
重要定理
定理:A为m×n矩阵 下面的都成立或者都不成立
a:对Rm中的每个b,方程Ax = b 有解。
b:Rm中的每个b都是A的列的一个线性组合。
c:A的各列生成Rm。
d:A在每一行都有一个主元位置。
1 线性方程组
- 若两个方程组的增广矩阵是行等价的,则它们具有相同的解集。
2 行化简与阶梯形矩阵
先导元素 阶梯形 简化阶梯形
阶梯形矩阵的特点:
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每一非零行都在每一零行之上。
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某一行的先导元素所在的列位于前一行先导元素的右边。
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某一先导元素所在列的下方都是零。
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若一个阶梯形矩阵还满足以下性质,则称它为简化阶梯形:
1.每一非零行的先导元素是1。
2.每一先导元素1是该元素所在列的唯一非零元素。 -
一个矩阵可以有很多阶梯形,但是只有一个简化阶梯形。化阶梯形为向前步骤,产生唯一简化阶梯形为向后步骤。
3 向量方程
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列向量 →向量
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Rm → m个元素
4 矩阵方程
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方程Ax = b 有解当且仅当b是A的各列的线性组合。
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Rm 中的每个向量都是V1,V2,…Vp的线性组合,即Span{v1,v2,…vp} = Rm。
5 线性方程组的解集
- Ax = b 的解集为 Ax = 0 的解加上一个特解。
6 线性无关与线性相关
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【仅有平凡解 → 线性无关】 【 有非平凡解 → 线性相关】
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向量组中的向量个数超过每个向量的元素个数 → 线性相关【列数多于行数】
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向量组中包含零向量 → 线性相关
7 线性变换
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Rn → Rm …Rn 称为定义域,Rm 称为余定义域
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余定义域不一定是值域
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每个矩阵变换都是线性变换
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A = [T(e1) ,T(e2),…T(en)] 称为线性变换的 标准矩阵。
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存在与唯一性地问题:
a:满射 →→ Ax = b 中不能出现[0,0,0…b] →→ A的每一行都有一个主元元素
b:一对一 →→ Ax = 0 仅有平凡解
8 额外补充
- 差分方程
- 基尔霍夫电压定律