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矩阵的直积(Kronecher 积)是一种重要的矩阵乘积,它在矩阵理论研究中起着重要的作用,是一种基本的数学工具。本文介绍矩阵直积的基本性质,并利用矩阵的直积求解线性矩阵方程组和矩阵微分方程组。
直积的定义和性质
A=(aij)m×n,B=(bij)p×q
称如下的分块矩阵:
A⊗B=⎝⎜⎛a11B⋮am1Ba12B⋮am2B⋯⋯a1nB⋮amnB⎠⎟⎞
为
A与
B的直积或者Kronecher积。
可见
A⊗B是
mp×nq矩阵。
矩阵的直积有下列性质:
-
1、设
K为常数,则:
k(A⊗B)=(kA)⊗B=A⊗(kB)
-
2、设
A1,A2为同阶矩阵,则:
(A1+A2)⊗B=A1⊗B+A2⊗B
B⊗(A1+A2)=B⊗A1+B⊗A2
-
3、:
(A⊗B)T=AT⊗BT
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-
4、:
(A⊗B)⊗C=A⊗(B⊗C)
-
5、设:
A=(aij)m×n,
B=(bij)p×q,
C=(cij)n×s,
D=(dij)q×t,则:
(A⊗B)(C⊗D)=(AC)⊗(BD)
-
6、设:
A∈Cn×n,B∈Cn×n
都可逆,则
A⊗B也可逆,且:
(A⊗B)−1=A−1⊗B−1
-
7、设
A∈Cn×n,设
B∈Cn×n都是酉矩阵,则
A×B也是酉矩阵。
-
8、设
A∈Cm×m的全体特征值是
λ1,
λ2,
⋯,
λm,
B∈Cn×n的全体特征值是
μ1,
μ2,
⋯,
μn,则
A⊗B的全体特征值是:
λiμi
-
9、设
A∈Cm×m,
B∈Cn×n,则
∣A⊗B∣=∣A∣n⋅∣B∣m。
-
10、设
A∈Cm×m的特征值是
λ1,
λ2,
⋯,
λm,
B∈Cn×n的特征值是
μ1,
μ2,
⋯,
μn则:
A⊗En+Em⊗B
的特征值是:
λi+μj
-
11、设
A∈Cm×m的特征值是
λ1,
λ2,
⋯,
λm,
B∈Cn×n的特征值是
μ1,
μ2,
⋯,
μn,则
A⊗En+Em⊗BT的特征值也是
λi+
μj。
-
设
x是
A∈Cm×m的特征向量,
y是
B∈Cn×n的特征向量,则
x⊗y是
A⊗B的特征向量。
-
设
A∈Cn×n,则:
eE⊗A=E⊗eA,eA⊗E=eA⊗E
- 设
A∈Cm×m,
B∈Cn×n则:
eA⊗En+Em⊗B=eA⊗eB
直积的应用
本节讨论直积在解线性矩阵方程组中的应用。
拉直
- 定义8.2:设矩阵
A=(aij)m×n,称
mn维列向量:
A→=(a11⋯a1n,a21⋯a2n,⋯,am1⋯amn)T
为
A的拉直。
拉直具有下面的性质:
- 设
A,B∈Cm×n,
k与
l为常数,则:
kA+lB
=kA
+lB
- 设
A=(aij(t))m×n则:
dtdA
=dtdA
A∈Cm×n,B∈Cp×q,X∈Cn×p
则:
AXB
=(A⊗En)(Em⊗BT)X
=(A⊗BT)X
AX+BX
=(A⊗En+Em⊗BT)X
线性矩阵方程组
A∈Cm×m,B∈Cn×n,F∈Cm×n
解Lyapunov矩阵方程:
解 将矩阵两边拉直:
(A⊗En+En⊗BT)X
=F
因为矩阵方程与所得的线性方程组等价,得到矩阵方程组有解的充要条件是:
r(A⊗En+Em⊗BT,F)
=r(A⊗En+Em⊗BT)
有唯一解的充要条件是:
∣A⊗En+Em⊗BT∣=0
- 设
A,F∈Cn×n,且
A的特征值都是实数,证明矩阵方程:
X+AXA+A2XA2=F
有唯一解。
A∈Cm×m,B∈Cn×n,X(t)∈Cm×n
求解矩阵微分方程组的初值问题:
{dtdX=AX+XBX(0)=X0
解 将矩阵两边拉直:
{dtdX
=(A⊗En+En⊗BT)X
X
(0)=X
0
这是常系数齐次线性微分方程组,它的解:
X
(t)=eA⊗En+Em⊗BTtX0
=(eAt⊗eBTt)X0
再由:
AXB
=(A⊗BT)X
(eAt⊗eBTt)X0
=eAtX0eBt
所以:
X
(t)=eAtX0eBt
X(t)=eAtX0eBt