题目描述

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

注意：给定 n 是一个正整数。

示例 1：

输入： 2
输出： 2
解释： 有两种方法可以爬到楼顶。

1. 1 阶 + 1 阶
2. 2 阶
   示例 2：

输入： 3
输出： 3
解释： 有三种方法可以爬到楼顶。

1. 1 阶 + 1 阶 + 1 阶
2. 1 阶 + 2 阶
3. 2 阶 + 1 阶

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/climbing-stairs

思路

设f(n)表示n阶楼梯的方法数，为了爬到第n阶楼梯，有两种选择：

• 从第n-1阶往上前进1步。
• 从第n-2阶往上前进2步。所以有：

$f(n) = f(n-1) + f(n-2)$

这是一个斐波拉契数列

• 递归的方式(慢)

• 迭代的方式

• 数学公式。斐波拉契数列的通项公式为：
  $a_n = \frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n - \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n\right]$

c++

// 迭代的方式
class Solution {
public:
    int climbStairs(int n) {
        int prev = 0, curr = 1, tmp;
        for(int i = 1; i <= n; ++i){
            tmp = curr;
            curr += prev;
            prev = tmp;
        }
        return curr;
    }
};

// 迭代的方式
class Solution {
public:
    int climbStairs(int n) {
        int result[2] = {1, 2};
        if(n <= 2)   return result[n-1];
        long long fibNminusOne = 2;
        long long fibNminusTwo = 1;
        long long fibN = 0;
        for(int i = 3; i <= n; ++i){
            fibN = fibNminusOne + fibNminusTwo;
            fibNminusTwo = fibNminusOne;
            fibNminusOne = fibN;
        }
        return fibN;
    }
};

// 通向公式（比内公式）
class Solution {
public:
    int climbStairs(int n) {
        const double s = sqrt(5);
        return floor((pow((1 + s)/2, n+1) + pow((1 - s)/2, n+1))/s + 0.5);
    }
};