Java实现动态规划(参考尚硅谷 Java 数据结构和算法)
1 应用场景-背包问题
背包问题:有一个背包,容量为 4 磅 , 现有如下物品
1) 要求达到的目标为装入的背包的总价值最大,并且重量不超出
2) 要求装入的物品不能重复
2 动态规划算法介绍
- 动态规划(Dynamic Programming)算法的核心思想是:将大问题划分为小问题 进行解决,从而一步步获取最优解的处理算法
- 动态规划算法与分治算法类似,其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题,先求解子问题,然后从这些子问题的解得到原问题的解。
- 与分治法不同的是,适合于用动态规划求解的问题,经分解得到子问题往往不是互相独立的 。 ( 即下一个子阶段的求解是建立在上一个子阶段的解的基础上,进行进一步的求解 )
- 动态规划可以通过填表的方式来逐步推进,得到最优解.
3 动态规划算法最佳实践-背包问题
背包问题:有一个背包,容量为 4 磅 , 现有如下物品
1) 要求达到的目标为装入的背包的总价值最大,并且重量不超出
2) 要求装入的物品不能重复
思路分析和图解
3) 背包问题主要是指一个给定容量的背包、若干具有一定价值和重量的物品,如何选择物品放入背包使物品的价
值最大。其中又分 01 背包 和完全背包 (完全背包指的是:每种物品都有无限件可用)
4) 这里的问题属于 01 背包 ,即每个物品最多放一个。而无限背包可以转化为 01 背包。
5) 算法的主要思想,利用动态规划来解决。每次遍历到的第 i 个物品,根据 w[i]和 v[i]来确定是否需要将该物品
放入背包中。 即对于给定的 n 个物品, 设 v[i]、 w[i]
分别为第 i 个物品的价值和重量, C 为背包的容量。 再令v[i][j]
表示在前 i 个物品中能够装入容量为 j 的背包中的最大价值。则我们有下面的结果:
(1)
v[i][0]=v[0][j]=0
; //表示 填入表 第一行和第一列是 0
(2) 当w[i]> j
时:v[i][j]=v[i-1][j]
// 当准备加入新增的商品的容量大于 当前背包的容量时,就直接使用上一个 单元格的装入策略
(3) 当j>=w[i]
时:v[i][j]=max{v[i-1][j], v[i]+v[i-1][j-w[i]]}
// 当准备加入的新增的商品的容量小于等于当前背包的容量
// 装入的方式:
v[i-1][j]
: 就是上一个单元格的装入的最大值
v[i]
: 表示当前商品的价值
v[i-1][j-w[i]]
: 装入 i-1 商品,到剩余空间 j-w[i]的最大值
当j>=w[i]
时:v[i][j]=max{v[i-1][j], v[i]+v[i-1][j-w[i]]}
:
6)图解的分析
4 动态规划-背包问题的代码实现
public class _KnapsackProblem {
/* 动态规划 01背包问题*/
public static void main(String[] args) {
int[] w = {1, 4, 3};//物品的重量
int[] val = {1500, 3000, 2000}; //物品的价值 这里val[i] 就是前面讲的v[i]
int m = 4; //背包的容量
int n = val.length; //物品的个数
//创建二维数组,
//v[i][j] 表示在前i个物品中能够装入容量为j的背包中的最大价值
int[][] v = new int[n+1][m+1];
//为了记录放入商品的情况,我们定一个二维数组
int[][] path = new int[n+1][m+1];
//初始化第一行和第一列, 这里在本程序中,可以不去处理,因为默认就是0
for(int i = 0; i < v.length; i++) {
v[i][0] = 0; //将第一列设置为0
}
for(int i=0; i < v[0].length; i++) {
v[0][i] = 0; //将第一行设置0
}
//根据前面得到公式来动态规划处理
for(int i = 1; i < v.length; i++) { //不处理第一行 i是从1开始的
for(int j=1; j < v[0].length; j++) {//不处理第一列, j是从1开始的
//公式
if(w[i-1]> j) { // 因为我们程序i 是从1开始的,因此原来公式中的 w[i] 修改成 w[i-1]
v[i][j]=v[i-1][j];
} else {
//说明:
//因为我们的i 从1开始的, 因此公式需要调整成
//v[i][j]=Math.max(v[i-1][j], val[i-1]+v[i-1][j-w[i-1]]);
//v[i][j]=Math.max(v[i-1][j], val[i-1]+v[i-1][j-w[i-1]]);
//为了记录商品存放到背包的情况,我们不能直接的使用上面的公式,需要使用if-else来体现公式
if(v[i - 1][j] < val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]]) {
v[i][j] = val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]];
//把当前的情况记录到path
path[i][j] = 1;
} else {
v[i][j] = v[i - 1][j];
}
}
}
}
//输出一下v 看看目前的情况
for(int i =0; i < v.length;i++) {
for(int j = 0; j < v[i].length;j++) {
System.out.print(v[i][j] + " ");
}
System.out.println();
}
System.out.println("============================");
//输出最后我们是放入的哪些商品
int i = path.length - 1; //行的最大下标
int j = path[0].length - 1; //列的最大下标
while(i > 0 && j > 0 ) { //从path的最后开始找
if(path[i][j] == 1) {
System.out.printf("第%d个商品放入到背包\n", i);
j -= w[i-1]; //w[i-1]
}
i--;
}
}
}
输出:
0 0 0 0 0
0 1500 1500 1500 1500
0 1500 1500 1500 3000
0 1500 1500 2000 3500
============================
第3个商品放入到背包
第1个商品放入到背包