运筹学绪论
运筹学是一门应用于管理有组织系统的科学,根据问题的要求,通过数学分析与计算,做出综合性的合理安排,以期达到资源的最优化利用。
运筹学考虑系统的整体优化、多学科的配合以及模型方法的应用,其研究可以分为以下几个步骤:
1.分析与表述问题。
2.建立模型
3.对问题求解
4.对模型和由模型导出的解进行检验
5.建立对解的有效控制
6.方案的实施。
其中,建模是运筹学方法的核心和精髓。
线性规划与单纯形法
线性规划模型的组成要素和特征
决策变量 指决策者为实现规划目标采取的方案、措施,是问题中要确定的未知量。
目标函数 指问题要达到目标的要求,表示为决策变量的函数。
约束条件 指决策变量取值时受到的各种限制,表示为决策变量的等式或不等式。
定义:目标决策变量为可控的连续变量,目标函数和约束条件都是线性的,这类模型称为线性规划模型。
线性规划问题的一般形式
1.标量形式
决策变量
{xi∣i=1,2,...,n}
目标函数
max(min) z=c1x1+c2x2+...+cnxn
约束条件
s.t.=⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎧a11x1+a12x2+...+a1nxn≤(=,≥)b1,a21x1+a22x2+...+a2nxn≤(=,≥)b2, ⋮am1x1+am2x2+...+amnxn≤(=,≥)bm,xj≥0 或 xj≤0 或 xj无约束
一般用
n 表示决策变量的个数,
m 代表约束等式/不等式的个数
通常情况下要求
m<n ,否则可能导致没有可行解
2.向量形式
决策变量
X=(x1 x2 … xn)T
目标函数
max(min) z=CX
约束条件
s.t.=⎩⎪⎨⎪⎧j=1∑nxjPj≤(=,≥)bX≥0
其中
C=(c1 c2 ... cn),Pj=(a1j a2j … amj)T,b=(b1 b2 ... bm)T.
注意列向量
P≥Q 意味着
∀i Pi≥Qi,矩阵也类似
3.矩阵形式
max(min) z=CXs.t.={AX≤(=,≥)bX≥0其中 C=(c1 c2 ... cn),A=⎣⎢⎢⎢⎡a11a21⋮am1a12a22⋮am2………a1na2n⋮amn⎦⎥⎥⎥⎤,X=⎝⎜⎜⎜⎛x1x2⋮xn⎠⎟⎟⎟⎞,b=⎝⎜⎜⎜⎛b1b2⋮bn⎠⎟⎟⎟⎞
称为约束方程组变量的系数矩阵,简称为约束变量的系数矩阵。
线性规划问题的标准形式
对于一般的线性规划模型缺乏统一的结构,这在问题的求解上无疑增加了一定的难度,因此,我们在定义线性规划的标准形式如下:
决策变量
{xi∣i=1,2,...,n}
目标函数
max(min) z=c1x1+c2x2+...+cnxn
约束条件
s.t.=⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎧a11x1+a12x2+...+a1nxn=b1,a21x1+a22x2+...+a2nxn=b2, ⋮am1x1+am2x2+...+amnxn=bm,x1≥0,x2≥0,…xn≥0
其中
bj≥0,1≤j≤m.
矩阵形式
max z=CXs.t.={AX=bX≥0
其中
A∈Rm×n是一个行满秩矩阵
标准形式的转化
1.目标函数
目标函数的极小值
⇔目标函数相反数的最大值,即
min z=CX⇒max z′=−CX
2.约束条件
i=1∑naijxj≤bi ⇒ i=1∑naijxj+xn+i=bi (xn+i≥0),其中
xn+i 称为松弛变量
i=1∑naijxj≥bi ⇒ i=1∑naijxj−xn+i=bi (xn+i≥0),其中
xn+i 称为剩余变量
松弛变量可以理解为资源的剩余,剩余变量可以理解为需求的溢出
bi≤0 ⇒ bi=−bi′,aij=−aij′ 其中
1≤j≤n , bi′≥0
3.决策变量
无约束决策变量:
xj 无限制
⇒xj=xj′−xj′′ ,其中
xj′,xj′′≥0
非正变量:
xj≤0⇒xj=−xj′,其中
xj′≥0
线性规划问题的解
可行解:如果一个非负矩阵
X 满足约束方程,则称矩阵
X 为可行解。
可行域:可行解组成的集合
Ω={X∣AX=b,X≥0,X∈Rn}称为可行域,可行域中使得目标函数达到最大值的可行解称为最优解。
基:若
B 是
A 的一个
m×m 阶的满秩子矩阵,则称
B 为线性规划问题的一个基。
B 中的每一个列向量用
Pj 表示,注意这里基是一组系数矩阵。
B=⎣⎢⎢⎢⎡b11b21⋮bm1b12b22⋮bm2………b1mb2m⋮bmm⎦⎥⎥⎥⎤=(P1,P2,…,Pm)
基解:假设
B 为一个基,可知存在
x1,…,xm 使得
x1P1+…xmPm=b,则称
X=(x1,…,xm,0,…,0)T为基
B 的基解,其中
x1,…,xm 称为基变量,其余的决策变量称为非基变量。
基可行解:若满足变量非负约束条件的基解称为基可行解。
可行基:假对应于基可行解的基称为可行基。
退化解:当基解中的非零分量小于
m 个时,该基解是退化解
解的维恩图表示:
线性规划问题的解法
1.图解法(略) 2.单纯形法
预备知识
凸集:假设
C⊂Rn.若对任意
X,Y∈C 和
0<λ<1 ,都有
λX+(1−λ)Y⊂C ,则称
C 为一个凸集(Convex set)。从直观上讲,凸集没有凹入部分,其内部也没有空洞。
凸组合:设向量
{xi},i=1,2,…,n,如果有实数
λi≥0 且
i=1∑nλi=1,则称
i=1∑nλixi 为向量
{xi} 的凸组合(凸线性组合)
顶点:假设
C 是凸集,且
X∈C .若不存在
X1,X2∈C 使得
X=λX1+(1−λ)X2 ,其中
0<λ<1,则
X 称为
C 的一个顶点.
凸集内点与其顶点的关系:若
C 是有界的凸集,则对任意
X∈C ,都可以表示成
D 的顶点的凸组合。
几个基本定理(证明不考)
定理1:若线性规划问题存在可行解,则其可行域是凸集。
证明:我们我们考察如下的标准形式的线性规划问题:
max z=CXs.t.={AX=bX≥0
两个不同的解是
X 和
Y 满足
AX=BX=b,X≥0,Y≥0 ,则对于任意
0<λ<1,我们有
A(λX+(1−λ)Y)=b,λX+(1−λ)Y≥0 .所以可行域为凸集。
定理2:线性规划问题的基可行解对应线性规划问题可行域的顶点。
引理 1:线性规划问题的可行解 X 为基可行解的充要条件是 X 的正分量所对应的系数列向量是线性无关的.(由基可行解的定义可知必要性是显然的. )
证明:假设
X为一个基可行解,若
X 不是一个顶点,则可行域中存在两个不同的点
Y,Z 使得
X=λY+(1−λ)Z,0<λ<1 ,不妨设
X 只有前
k 个分量大于0,显然
Y,Z 后
n−k 个分量都为0,我们有
i=1∑kxiPi=b, i=1∑kyiPi=b, i=1∑kziPi=b.
由于
P1,P2,…,Pk 线性无关(也就是方程只有一个解),我们得到
X=Y=Z ,与我们的假设矛盾,所以
X一定是一个顶点。
如果假设
X是一个顶点,并且假设其只有前
k 个分量大于0,若果
X 不是一个基可行解,则由引理可知
P1,P2,…,Pk 线性相关,说以存在
k 个不为零的实数使得
d1P1+d2P2+⋯+dkPk=0D=(d1,d2,…,dk,0,…,0)T
显然有
AX=0→A(X+sD)=A(X−sD)=b ,对任意实数
s 都成立,
∃s>0,X+sD≥0 ∧ X−sD≥0,则
X 是可行域中
X+sD 和
X−sD 的中点,这与
X是一个顶点矛盾,所以
X一定是一个基可行解。
定理3:若线性规划问题存在最优解,则一定存在一个基可行解是最优解。
引理2:若
X是一个最优解,且
X=λY+(1−λ)Z ,其中
Y,Z 是两个可行解,
0<λ<1,则
CX=CY=CZ .(反证法易得)
证明:设
X是一个最优解,且不妨假设其只有前
k个分量大于0,若
X是一个基可行解,则证毕;否则存在
k个不全为0的实数使得(5)式成立,且
A(X+rD)=A(X−sD)=b 对任意实数
s,r 都成立,同时
X+rD和
X−sD至少有一个正分量的数量小于
k。则由上一个引理可知我们得到了一个新的最优解,且这个最优解的正分量的数量小于
k,若新的到的最优解依然不是基可行解,重复上面的过程,我们可以得到一个新的最优解,这个最优解的正分量的数量小于
k,以此类推,经过有限步之后,我们肯定可以得到一个基可行解. 证毕.
定理4:若线性规划问题有可行解,则必有基可行解
定理5:若线性规划问题有最优解,则必有最优基可行解
单纯形法
确定初始基可行解
当线性规划问题全部为“
≤”时,在化为标准型时,加入的m个松弛变量所构成的单位矩阵就可以构成一组基:设给定线性规划问题
max z=j−1∑ncjxjs.t.=⎩⎪⎨⎪⎧j=1∑nxjPj≤bxj≥0
在第
i 个约束条件上加上松弛变量
ssi,(i=1,…,m),化为标准形式
max z=j−1∑ncjxj+0i=1∑mxsis.t.=⎩⎪⎨⎪⎧j=1∑naijxj+xsi=b,(i=1,2,…,m)xj≥0
其约束方程的系数矩阵为
⎣⎢⎢⎢⎡a11a21⋮am1a12a22⋮am2………a1na2n⋮amn10⋮001⋮0………00⋮1⎦⎥⎥⎥⎤
这个系数矩阵中含有一个单位向量
(Ps1,Ps2,…,Psm),只要以这个单位矩阵作为基,就可以立即解出基变量值
xsi=bi ,因为
bi≥0 ,因此
X=(0,…,0,b1,…,bm)T就是一个基可行解。
当线性规划问题中约束条件包含"
=“或”
≥"时,化为标准型后一般不包含单位矩阵,这时常用添加人工变量的方法人为构造一个单位矩阵作为基,称为人工基,具体方法在第五章讨论。
基可行解的转换
不失一般性,设初始基可行解为
X(0)=(x10,x20,…,xm0,0,…,0
n−m个)T=(XBXN),A=(B N)
其中
B是对应的可行基,相应的,设
C=(CB,CN),我们有
AX(0)=(B,N)(XBXN)=BXB=b,我们有
XB=B−1b,XN=0,
此时目标函数值
z(0)=CX=(CB CN)(XBXN)=CBXB−CNXN=CBB−1b.
原始方程组的增广形式为:
P1 P2 … Pm Pm+1 … Pj… Pn b⎣⎢⎢⎢⎡a11a21⋮am1a12a22⋮am2……⋱…a1ma2m⋮amma1,m+1a2,m+1⋮am,m+1………a1ja2j⋮amj………a1na2n⋮amnb1b2⋮bm⎦⎥⎥⎥⎤
因为
P1,P2,…,Pm 是
Rm 的一组基,所以其余的
Pj都可以用这个基来表示,我们可以将
Pj替换为
BB−1Pj,所以有
B(XB−θB−1Pj)+θPj=b,我们假设
XB−θB−1Pj≥0,那么我们得到了一个新的可行解
X~=(XB−θB−1Pj0)+θej
其中,
ej 为第
j 个分量为1其余分量为0的单位列向量,这个可行解的目标函数值为
z
=CX~=(CB CN)((XB−θB−1Pj0)+θej)=CBXB+θ(cj−CBB−1Pj)=z(0)+θ(cj−CBB−1Pj)
我们令
σj=cj−CBB−1Pj,则
z~=z(0)+θσj,
σj 被称为检验数。
如果
θj>0,则新的可行解可以使目标函数变大,且
θ 应该越大越好. 此时注意到为了保证
X~是一个可行解,应该有
XB−θB−1Pj≥0,显然这个
(B−1Pj)很难处理,我们不妨在求解之前通过初等行变换把
B化为单位矩阵(想一想,为什么可以这么做?),即化成
P1P2…PmPm+1…Pj… Pn b⎣⎢⎢⎢⎡10⋮001⋮0……⋱…00⋮1a1,m+1a2,m+1⋮am,m+1………a1ja2j⋮amj………a1na2n⋮amnb1b2⋮bm⎦⎥⎥⎥⎤
假设
B是一个单位矩阵且
b>0,那么
θ 的最大值显然是
θ∗=min{aijbi:aij>0,1≤i≤m},不妨设
θ∗=arjbr,则
(P1,…,Pr−1,Pr+1,…,Pm,Pj)构成一组新的基,这个基的基解和目标函数值为
X(1)=(XB−θ∗B−1Pj0)+θ∗ej,z(1)=z(0)+θ∗σj
最优性检验和解的判别
(1) 当
∀ σj≤0时,表明现有顶点的目标函数的值比起相邻各顶点的目标
函数值都大,现以顶点对应的基可行解即为最优解。(为什么局部最优解等于全局最优解?)
(2)当
∀ σj≤0∧∃ σr=0时,
X~=(XB−θB−1Pj0)+θej 和
X(0)的线性组合都是最优解,因此有无限多个解
(3)当
∃ σj>0∧(∀ θ>0) XB−θB−1Pj≥0时,目标函数值可以取到无限大,最优解无界。
单纯性法的计算步骤
to be continue...