欧拉函数用于求解小于等于n的与n互质的数的个数
欧拉函数用字符φ表示,φ(n)表示n的欧拉函数
欧拉函数具有几个重要的性质
1 若n是素数,则φ(n)=n-1
2 若n是和数,则φ(n)<n-1
3 若m与n互质,则φ(mn)=φ(m)*φ(n)
4 性质3的推论若n为质数且m%n!=0则φ(mn)=φ(m)*(n-1)
5 对于一个质数和正整数P,有φ(p^k)=p^k-p^(k-1)=p^k(1-1/p)
6对于一个正整数N的素数幂分解N=P1^q1*P2^q2*...*Pn^qn, φ(N)=N*(1-1/P1)*(1-1/P2)*...*(1-1/Pn)
7设N为正整数,∑φ(d)=N (d|N) 表示N的所有因数的欧拉函数的和为N,其中d|N表示N%d==0
8 当n大于1时,1...n中与n互质的整数和为n*φ(n)/2
欧拉函数的两种实现方法
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//直接求解欧拉函数,复杂度为sqrt(n) int euler(int n) { //返回euler(n) int res = n, a = n; for (int i = 2; i*i <= a; i++) { if (a%i == 0) { res = res / i * (i - 1);//先进行除法是为了防止中间数据的溢出 while (a%i == 0) a /= i; } } if (a>1) res = res / a * (a - 1); return res; } //筛选法打欧拉函数表 #define Max 1000001 int euler[Max]; void Init() { euler[1] = 1; for (int i = 2; i<Max; i++) euler[i] = i; for (int i = 2; i<Max; i++) if (euler[i] == i) for (int j = i; j<Max; j += i) euler[j] = euler[j] / i * (i - 1);//先进行除法是为了防止中间数据的溢出 }