204. 计数质数
- 统计所有小于非负整数 n 的质数的数量。
示例:
输入: 10
输出: 4
解释: 小于 10 的质数一共有 4 个, 它们是 2, 3, 5, 7 。
思路:埃拉托色尼筛选法
要得到自然数n以内的全部质数,必须把不大于根号n的所有质数的倍数剔除,剩下的就是质数。
- 初始化一个存放n个元素的列表 isPrime,元素初始值为1,表示该元素所在的位置索引值是一个质数
- 遍历判断第 i 个数是否已经被赋值为 0 ,即对之前已经排除掉的不是质数的数,不用再对它的倍数进行二次排除。
i 不需要遍历到 n,而只需要到 sqrt(n) 即可,应写为 int(n ** 0.5) + 1,例如 n = 12
12 = 2 × 6
12 = 3 × 4
12 = sqrt(12) × sqrt(12)
12 = 4 × 3
12 = 6 × 2
可以看到,后两个乘积就是前面两个反过来,反转临界点就在 sqrt(n)
- 首先从2开始,我们知道2是一个素数,那么2 × 2 = 4, 2 × 3 = 6, 2 × 4 = 8…都不可能是素数了。
然后我们发现3也是素数,那么3 × 2 = 6, 3 × 3 = 9, 3 × 4 = 12…也都不可能是素数了。
同时从下图可以看到,i * i 上面的乘积存在重复,因此 j 从 i * i 开始取就可以了。
- 将所有isPrime[j] = 0,表示此处为合数。
- 此时列表中每个质数位的值均为 1 ,其余合数位的值均为 0,加和即可得到结果。
代码实现:
class Solution:
def countPrimes(self, n: int) -> int:
isPrimes = [True for _ in range(n)]
i = 2
while i * i < n:
if isPrimes[i]:
for j in range(i*i, n, i):
isPrimes[j] = False
i += 1
count = 0
for i in range(2, n):
if isPrimes[i]:
count += 1
return count
代码实现2(更快更简洁):
class Solution:
def countPrimes(self, n: int) -> int:
if n < 2:
return 0
isPrimes = [1] * n
isPrimes[0] = isPrimes[1] = 0
for i in range(2, int(n ** 0.5) + 1):
if isPrimes[i]:
for j in range(i * i, n, i):
isPrimes[j] = 0
return sum(isPrimes)