学习笔记，仅供参考，有错必纠

简答题

• 显著性水平 $\alpha$的含义，举例说明如何利用显著性水平进行检验

显著性水平，是在原假设正确的情况下，错误的拒绝原假设的概率。显著性水平用 $\alpha$表示。

举例：

(1)提出原假设 $H_0$和备择假设 $H_1$，同时，指出所作检验为双尾检验还是左单尾或右单尾检验。

(2)构造检验统计量，收集样本数据，计算检验统计量的样本观察值。

(3)根据所提出的显著水平，确定临界值和拒绝域。

(4)作出检验决策，把检验统计量的样本观察值和临界值进行比较，或者把观察到的显著水平与显著水平标准进行比较；最后按检验规则作出检验决策。当样本值落入拒绝域时，表述成：“拒绝原假设”；当样本值落入接受域时，表述成：“没有充足的理由拒绝原假设”。

• 主成分分析和因子分析的区别和联系

因子分析的目的和用途与主成分分析类似，都是一种降维方法。

因子分析与主成分分析主要有如下一些区别：

(1)主成分分析涉及的只是一般的变量变换，它不能作为一个模型来描述，本质上几乎不需要任何假定；而因子分析需要构造一个因子模型，并伴有几个关键性的假定。

(2)主成分是原始变量的线性组合；而在因子分析中，原始变量是因子的线性组合，但因子却一般不能表示为原始变量的线性组合。

(3)在主成分分析中，强调的是用少数几个主成分解释总方差；而在因子分析中，强调的是用少数几个因子去描述协方差或相关关系。

(4)主成分的解是唯一的(除非含有相同的特征值)；而因子的解可以有很多，表现得较为灵活(主要体现在因子旋转上)，这种灵活性使得变量在降维之后更易解释，这是因子分析比主成分分析有更广泛应用的一个重要原因。

(5)主成分不会因其提取个数的改变而变化，但因子往往会随模型中因子个数的不同而变化

• 符号检验和Wilcoxon符号秩检验的区别

符号检验（sign test）是非参数统计中最古老的检验方法之一。这种检验被称为符号检验是因为他所关心的信息只与两类观测值有关，如果用符号 $+$（大于中位数记正号）和 $-$（小于中位数记负号）区分，符号检验就是通过符号 $+$和 $-$的个数来进行统计推断的，故称为符号检验。

Wilcoxon符号秩检验是对符号检验的一种改进，符号检验利用了观察值和零假设的中位数之差的符号来进行检验，但是它并没有利用这些差的绝对值大小所包含的信息，不同的符号仅仅代表了在中位数的哪一边，而差的绝对值的秩的大小代表了距离中心的远近。如果把这两者结合在一起，自然比仅仅利用正负号的数目要更有效。

区别：

(1)对信息的利用程度不同。

若资料中有具体数字，使用符号检验，相当于只利用了其中的 $+, \; -$信息，而对数字大小中所包含信息没有充分利用。

(2)假定不同。

Wilcoxon符号秩检验需要假设总体分布对称，即样本点来自连续对称总体分布；

而符号检验不需要对总体做任何假设，在总体分布偏斜时，符号检验具有更好的稳健性。

(3)基本原理不同。

符号检验的原理：对于单一连续数据，每个数等可能的位于中位数左右两边；

符号秩检验的原理：对称中心两侧数据的数目与疏密程度应该近似相等。这表现为，当数据取绝对值以后，原来取正值的数据和取负值的数据应该交错出现，取正值数据在绝对值样本中的秩和与取负值数据在绝对值样本中的秩和应该近似相等。

(4)适用情况不同。

符号检验适用于所有取值连续的分布；

符号秩检验主要用于单峰对称分布。

(5)研究对象不同。

符号检验以中位数为研究对象；

符号秩检验以对称分布的对称中心为研究对象。