矩阵求和
经过重重笔试面试的考验,小明成功进入 Macrohard 公司工作。
今天小明的任务是填满这么一张表:
表有 n 行 n 列,行和列的编号都从1算起。
其中第 i 行第 j 个元素的值是 gcd(i, j)的平方,
gcd 表示最大公约数,以下是这个表的前四行的前四列:
1 1 1 1
1 4 1 4
1 1 9 1
1 4 1 16
小明突然冒出一个奇怪的想法,他想知道这张表中所有元素的和。
由于表过于庞大,他希望借助计算机的力量。
「输入格式」
一行一个正整数 n 意义见题。
「输出格式」
一行一个数,表示所有元素的和。由于答案比较大,请输出模 (10^9 + 7)(即:十亿零七) 后的结果。
「样例输入」
4
「样例输出」
48
「数据范围」
对于 30% 的数据,n <= 1000
存在 10% 的数据,n = 10^5
对于 60% 的数据,n <= 10^6
对于 100% 的数据,n <= 10^7
思路:
因为n的范围到了1e7,所以暴力算出此表所有值然后累加必然会超时,所以需要把题目转换一下,即求(1 * k,2 * k,3 * k……,(n-1) * k,n * k)然后累加,k的含义是此数在表里出现的次数。
Code:
#pragma GCC optimiza(2)
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include<cmath>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <set>
#include <map>
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
typedef long long int ll;
const int N = 1e7+7;
const int mod=1e9+7;
int primes[N], euler[N], cnt ;
bool st[N];
ll s[N];
// 质数存在primes[]中,euler[i] 表示
// i的欧拉函数
// O(n)
void get_eulers(int n)
{
euler[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; i ++ )
{
if (!st[i])
{
primes[cnt ++ ] = i;
euler[i] = i - 1;
}
for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j ++ )
{
st[primes[j] * i] = true;
if (i % primes[j] == 0)
{
euler[i * primes[j]] = euler[i] * primes[j];
break;
}
euler[i * primes[j]] = euler[i] * (primes[j] - 1);
}
}
s[1]=euler[1];
for(int i=2;i<=n;i++) s[i]=(s[i-1]+2*euler[i])%mod;
}
int main(){
int t,n;
cin>>n;
get_eulers(n);
ll ans=0;
for(int d=1;d<=n;d++){
ans=(ans+s[n/d]*d%mod*d%mod)%mod;
}
cout<<ans<<endl;
}