题目描述
方法一
这是一种思路最直白的方法,构造一个数组,每次往后数m-1个就移除该元素。往后数m-1个的过程中由于是线性数据结构,需要对当前数组长度取模
int lastRemaining(int n, int m) {
vector<int> nums;
for(int i=0; i<n; i++){
nums.push_back(i);
}
int len = nums.size();
int index = 0;
while(len > 1){
index = (index + m - 1) % len;
nums.erase(nums.begin() + index);
len--;
}
return nums[0];
}
这种方法用C++提交是超时的,但是用Java提交可以通过
方法二、倒推幸存者最终位置
此题目原型是约瑟夫环,此方法的思路是假设刚开始只有1个人,那幸存者的位置肯定是0,然后推出刚开始有2个人,幸存者的位置…最后推出刚开始有n个人时,幸存者的位置
接下来,我们先用n=8的情况推出n=7的情况,然后用n=7的情况倒推出n=8的情况,最后进行推广得到递推公式。
下面用n = 8 , m = 3举例说明解题思路
- 红色表示该轮被删除的元素,绿色表示最终存在的元素
我们现在需要倒推当数组元素为8个时,元素G所在的位置。那我们应该怎么倒推呢?怎么删除的,我们就怎么倒推回去。我们将删除元素的步骤分为3步:移动到最后、去掉元素、整体往前移。下面以第一轮的操作举例
1. 3个元素移动到最后:
- 将ABC这3(m)个元素移到最后,所谓移到数组最后就是改变ABC三个元素的索引即可,通过加上数组长度实现。A一开始的索引为0,加上数组长度后为8。B、C的索引分别为9、10
2. 删除元素
- 这一步在代码中其实不用操作,放置到数组末尾即可
3. 整体往前移
- 通过修改数组索引完成,就是对所有元素的索引-3(-m)
现在对比一下最上面的一幅图,我们成功的从n=8的情况推到了n=7的情况
倒推
当前情况是n=7,m=3,我们将上述三步反过来得到n=8的情况
1. 整体往后移
- 这一步通过+3(+m)实现
2. 补上被删除的元素
3. 3个元素移到最前
- 这一步通过取模完成,ABC的索引分别为8、9、10,对8取模后索引成为0、1、2
而其他元素的索引不变(对当前长度n取模)
现在对比最上面的一张图,发现我们成功的从n=7的状态倒推到了n=8的状态
从n-1状态下的安全位置转换到n状态下的安全位置的递推公式如下:
safePos[n] = (safePos[n-1] + m) % n
int lastRemaining(int n, int m) {
int safePos = 0;//初始安全位置
for(int i=2; i<=n; i++){
safePos = (safePos + m) % i;
}
return safePos;
}
参考题解:换个角度举例解决约瑟夫环
递归
思路和上面差不多,直接给代码
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class Solution {
public:
int getSafePos(int n, int m){
if(n == 1) return 0;//约瑟夫环只有一个人时,安全位置为0
int pos = getSafePos(n - 1 , m);
return (pos + m) % n;
}
int lastRemaining(int n, int m) {
return getSafePos(n, m);
}
};