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问题描述:给定一个矩阵A,一个非负整数b和一个正整数m,求A的b次方除m的余数。
其中一个nxn的矩阵除m的余数得到的仍是一个nxn的矩阵,这个矩阵的每一个元素是原矩阵对应位置上的数除m的余数。
要计算这个问题,可以将A连乘b次,每次都对m求余,但这种方法特别慢,当b较大时无法使用。下面给出一种较快的算法(用A^b表示A的b次方):
若b=0,则A^b%m=I%m。其中I表示单位矩阵。
若b为偶数,则Ab%m=(A(b/2)%m)^2%m,即先把A乘b/2次方对m求余,然后再平方后对m求余。
若b为奇数,则Ab%m=(A(b-1)%m)*a%m,即先求A乘b-1次方对m求余,然后再乘A后对m求余。
这种方法速度较快,请使用这种方法计算A^b%m,其中A是一个2x2的矩阵,m不大于10000。输入格式 输入第一行包含两个整数b, m,第二行和第三行每行两个整数,为矩阵A。输出格式 输出两行,每行两个整数,表示A∧b%m
样例输入
2 2
1 1
0 1
样例输出
1 0
0 1
问题解决思路:递归思想,1.若n为奇数,则递进到A∧b%m=(A∧(b-1)%m)*a%m,这个式子中去,那么b-1则为偶数,再递进到A∧b%m=(A∧(b/2)%m)^2%m,这个式子中去,然后就是一直递进到这个偶数式中去,直到n-1等于0为止,所以递归出口显然就是题目中给的当n=0的那个式子A∧b%m = l%m中去。2.若为偶数则少了奇数情况的第一步…
C源代码如下:
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<math.h>
void GoInto(int A[][2], int b, int m, int Copy[][2]);
int main()
{
int A[2][2] = {
0}; //用来保存结果的矩阵,也是要求输入的矩阵;
int Copy[2][2] = {
0}; //用来保存一开始输入的矩阵,用于奇数递归那里的计算
int b = 0;
int m = 0;
scanf("%d %d",&b,&m);
int i = 0;
int j = 0;
for(i = 0; i<2; i++)
{
for(j = 0; j<2; j++)
{
scanf("%d",&A[i][j]);
Copy[i][j] = A[i][j];
}
}
GoInto(A, b, m, Copy);
for(i = 0; i<2; i++)
{
for(j = 0; j<2; j++)
{
printf("%d ",A[i][j]);
}
printf("\n");
}
return 0;
}
void GoInto(int A[][2], int b, int m, int Copy[][2])
{
int i,j,k,sum;
int C[2][2] = {
0};
i = j = k = sum = 0;
if(b==0)
{
int I[2][2] = {
1,0,0,1}; //单位矩阵;
for (i = 0; i<2; i++)
{
for (j = 0; j<2; j++)
{
A[i][j] = I[i][j]%m; //b为0时的情况;
}
}
return ;
}
if(b%2 == 1) //奇数情况
{
GoInto(A, b-1, m, Copy); //递归深入;
for (i = 0; i<2; i++) //三重循环计算这一层的结果矩阵;
{
for (j = 0; j<2; j++)
{
sum = 0;
for (k = 0; k<2; k++)
{
sum += A[i][k]*Copy[k][j];
}
C[i][j] = sum%m; //这里要将结果暂时保存起来,不能让结果矩阵A[i][j]直接等于sum%m,因为在循环里面会改变A[i][j]的值,而这个值会在循环内部继续用到。
}
}
for (i = 0; i<2; i++) //保存之后,在循环外面更新结果矩阵;
{
for (j = 0; j<2; j++)
{
A[i][j] = C[i][j];
}
}
}
if(b!=0 && b%2==0) //为偶数的情况类似;
{
GoInto(A, b/2, m, Copy);
for (i = 0; i<2; i++)
{
for (j = 0; j<2; j++)
{
sum = 0;
for (k = 0; k<2; k++)
{
sum += A[i][k]*A[k][j];
}
C[i][j] = sum%m;
}
}
for (i = 0; i<2; i++)
{
for (j = 0; j<2; j++)
{
A[i][j] = C[i][j];
}
}
}
}
稍微注意下递归思想和矩阵的乘法求法就好了,md这个单位矩阵居然主对角线为1.。。。。之前学的线代全忘了…
代码格式可能有点难看,我也不知道为啥复制上去就变成这样儿了…