A , B , C A,B,C A,B,C都是整数，给出一个公式 a r c t a n A + a r c t a n B = a r c t a n ( A + B 1 − A × B ) arctanA+arctanB=arctan(\frac{A+B}{1-A\times B}) arctanA+arctanB=arctan(1−A×BA+B)
现在给你 a r c t a n 1 A = a r c t a n 1 B + a r c t a n 1 C arctan\frac1 A=arctan\frac1 B+arctan\frac1C arctanA1=arctanB1+arctanC1输入 A A A，问 B + C B+C B+C的最小解
- 根据公式很容易能够得到 a r c t a n 1 A = a r c t a n B + C 1 − B × C arctan\frac1A=arctan\frac{B+C}{1-B\times C} arctanA1=arctan1−B×CB+C根据函数单调性容易得到 A B + A C + B C = 1 AB+AC+BC=1 AB+AC+BC=1现在已知 A A A，我们要求 B + C B+C B+C的最小值
- 如果想提取出 A A A通过不等式得到最小值是错误的，因为在那样求出的最小值不是整数意义下的最小值，取等只有在 B = C B=C B=C时候才成立，这也是高中数学的一个容易陷入的误区
- 那么我们怎么找最小值呢？我们可以做这样一个变形 ( B − A ) × ( C − A ) = 1 + A 2 (B-A)\times(C-A)=1+A^2 (B−A)×(C−A)=1+A2那么如果设 m = B − A , n = C − A m=B-A,n=C-A m=B−A,n=C−A，那么有 m n = 1 + A 2 mn=1+A^2 mn=1+A2，因为都是整数，所以我们可以枚举所有 1 + A 2 1+A^2 1+A2的因数寻找 B + C B+C B+C的最小值
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using namespace std;
typedef long long ll;
const int MAXN = 2e5 + 100;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int a[MAXN];
typedef long long ll;
int main(){
#ifdef LOCAL
freopen("input.txt", "r", stdin);
freopen("output.txt", "w", stdout);
#endif
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);
cout.tie(0);
ll a;
cin >> a;
ll ans = 0x7fffffff;
ll tmp = 1 + a * a;
for(ll m=1;m<=a;m++){
if(tmp % m == 0){
ll n = tmp / m;
ans = min(ans, m + a + n + a);
}
}
cout << ans;
return 0;
}