一、题目
二、思路
基础题。拿到题目,“最大价值”、路线问题,可以发现和以前做的【LeetCode62】不同路径(dp)是一个思路的,都是规定从左上角,每次只能向右or向下移动一格,于是那题从当前状态考虑时,需要将上方格子的dp值和左方的dp值相加(因为那里是求路径方法数),但是本题是取max(因为这里是求一条路径,该路径使得礼物价值最大)。
(1)确定状态
状态 f ( i , j ) f(i, j) f(i,j)表示到达当前 ( i , j ) (i, j) (i,j)坐标位置时能够拿到的礼物最大总和。
(2)状态转移方程
f ( i , j ) = max [ f ( i − 1 , j ) , f ( i , j − 1 ) ] + g ( i , j ) f(i, j)=\max [f(i-1, j), f(i, j-1)]+g(i, j) f(i,j)=max[f(i−1,j),f(i,j−1)]+g(i,j)其中 g ( i , j ) g(i, j) g(i,j)是当前格子的礼物价值。
(3)边界+初始条件
dp[o][0]
,还有第一列和第一行的dp值。
(4)计算顺序
计算下标i
时的数据需要有i-1
时的数据,所以从小到大遍历i
和j
。
三、代码
class Solution {
public:
int maxValue(vector<vector<int>>& grid) {
//dp[i][j]表示目前到该位置的最大价值
int m = grid.size();
int n = grid[0].size();
vector<vector<int>> dp(m, vector<int>(n, 0));
dp[0][0] = grid[0][0];
for(int i = 1; i < n; i++){
dp[0][i] = dp[0][i - 1] + grid[0][i];
}
for(int j = 1; j < m; j++){
dp[j][0] = dp[j - 1][0] + grid[j][0];
}
for(int i = 1; i < m; i++){
for(int j = 1; j < n; j++){
dp[i][j] = max(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]) + grid[i][j];
}
}
return dp[m - 1][n - 1];
}
};
由于每次在[i][j]
位置时只用到上方和左方的格子数据,所以还可通过【滚动数组】进行空间复杂度上的优化,这里贴一个《剑指offer》优化解法:
#include <vector>
#include <iostream>
#include <string>
#include <string.h>
#include <algorithm>
using namespace std;
int getMaxValue(const int *val,int rows,int cols){
if((val == NULL)||(rows <= 0)||(cols <= 0))return 0;
//只用一行缓存来缓存上一行的最大值
int *buffer = new int[cols];
for(int i = 0;i != rows;i++){
for(int j = 0;j != cols;j++){
int up = 0,left = 0;
//取上面一格的最大值
if(i != 0){
up = buffer[j];
}
//因为左边一格的最大值会及时更新到缓存,所以这里取的是左边一格的数据
if(j != 0){
left = buffer[j-1];
}
int tmp = max(up,left)+val[i*cols+j];
//对当前行的数据实时更新到缓存
buffer[j] = tmp;
}
}
int resu = buffer[cols-1];
delete[] buffer;
return resu;
}
int main(){
int *test = new int[16];
test[0] = 1;
test[1] = 10;
test[2] = 3;
test[3] = 100;
test[4] = 12;
test[5] = 2;
test[6] = 9;
test[7] = 6;
test[8] = 5;
test[9] = 7;
test[10] = 4;
test[11] = 11;
test[12] = 3;
test[13] = 7;
test[14] = 16;
test[15] = 5;
cout << getMaxValue(test,4,4) << endl;
return 0;
}