一、题目

二、思路

基础题。拿到题目，“最大价值”、路线问题，可以发现和以前做的【LeetCode62】不同路径（dp）是一个思路的，都是规定从左上角，每次只能向右or向下移动一格，于是那题从当前状态考虑时，需要将上方格子的dp值和左方的dp值相加（因为那里是求路径方法数），但是本题是取max（因为这里是求一条路径，该路径使得礼物价值最大）。

（1）确定状态
状态$f(i,j)$表示到达当前$(i,j)$坐标位置时能够拿到的礼物最大总和。

（2）状态转移方程
$$f(i,j)=\max [f(i-1,j),f(i,j-1)]+g(i,j)$$其中$g(i,j)$是当前格子的礼物价值。

（3）边界+初始条件
dp[o][0]，还有第一列和第一行的dp值。

（4）计算顺序
计算下标i时的数据需要有i-1时的数据，所以从小到大遍历i和j。

三、代码

class Solution {
    
    
public:
    int maxValue(vector<vector<int>>& grid) {
    
    
        //dp[i][j]表示目前到该位置的最大价值
        int m = grid.size();
        int n = grid[0].size();
        vector<vector<int>> dp(m, vector<int>(n, 0));
        dp[0][0] = grid[0][0];
        for(int i = 1; i < n; i++){
    
    
            dp[0][i] = dp[0][i - 1] + grid[0][i];
        }
        for(int j = 1; j < m; j++){
    
    
            dp[j][0] = dp[j - 1][0] + grid[j][0];
        }
        for(int i = 1; i < m; i++){
    
    
            for(int j = 1; j < n; j++){
    
    
                dp[i][j] = max(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]) + grid[i][j];
            }
        }
        return dp[m - 1][n - 1];
    }
};

由于每次在[i][j]位置时只用到上方和左方的格子数据，所以还可通过【滚动数组】进行空间复杂度上的优化，这里贴一个《剑指offer》优化解法：

#include <vector>     
#include <iostream>   
#include <string>     
#include <string.h>   
#include <algorithm> 
using namespace std;  

int getMaxValue(const int *val,int rows,int cols){
    
                         
    if((val == NULL)||(rows <= 0)||(cols <= 0))return 0;

    //只用一行缓存来缓存上一行的最大值
    int *buffer = new int[cols];

    for(int i = 0;i != rows;i++){
    
     
        for(int j = 0;j != cols;j++){
    
     
            int up = 0,left = 0;
            //取上面一格的最大值
            if(i != 0){
    
     
                up = buffer[j]; 
            }         

            //因为左边一格的最大值会及时更新到缓存，所以这里取的是左边一格的数据                                                                                                                                                            
            if(j != 0){
    
     
                left = buffer[j-1]; 
            }         

            int tmp = max(up,left)+val[i*cols+j]; 
            //对当前行的数据实时更新到缓存
            buffer[j] = tmp;
        }             
    }                 

    int resu = buffer[cols-1];
    delete[] buffer;  
    return resu;      
}                     

int main(){
    
                         
    int *test = new int[16];
    test[0] = 1;      
    test[1] = 10;     
    test[2] = 3;      
    test[3] = 100;    
    test[4] = 12;     
    test[5] = 2;      
    test[6] = 9;      
    test[7] = 6;      
    test[8] = 5;      
    test[9] = 7;      
    test[10] = 4;     
    test[11] = 11;    
    test[12] = 3;     
    test[13] = 7;     
    test[14] = 16;    
    test[15] = 5;     

    cout << getMaxValue(test,4,4) << endl;
    return 0;         
}