题目

有 n 个气球，编号为0 到 n - 1，每个气球上都标有一个数字，这些数字存在数组 nums 中。

现在要求你戳破所有的气球。戳破第 i 个气球，你可以获得 nums[i - 1] * nums[i] * nums[i + 1] 枚硬币。 这里的 i - 1 和 i + 1 代表和 i 相邻的两个气球的序号。如果 i - 1或 i + 1 超出了数组的边界，那么就当它是一个数字为 1 的气球。

求所能获得硬币的最大数量。

示例

输入：nums = [3,1,5,8]
输出：167
解释：
nums = [3,1,5,8] --> [3,5,8] --> [3,8] --> [8] --> []
coins =  3*1*5    +   3*5*8   +  1*3*8  + 1*8*1 = 167

思路（动态规划）

• 每戳破一个气球 $nums[i]$ ，能获得的硬币数量就是 $nums[i-1]\ast nums[i]\ast nums[i+1]$
  为了考虑越界，就再开一个数组 $arr[nums.length+2]$，来存两个边界 1
  

• 我们可以枚举最后一个戳爆的气球

• 定义dp数组，$dp[i][j]$ 表示 戳破 $(i,j)$ 之间的所有气球，$0<=i<n+1$

• 注意如果 $i<=j$ 中间是没有气球的，因为是开区间所以k的左右两边的区间不会影响k
  

• 采用从下至上和从左往右的遍历方式

代码

class Solution {
    
    
    public int maxCoins(int[] nums) {
    
    
        int len = nums.length;
        // 定义两个边界考虑到越界情况
        int[] arr = new int[len+2];
        // 越界只能获得1个硬币
        arr[0] = arr[len+1] = 1;
        for(int i = 1; i < len+1; i++) {
    
    
            arr[i] = nums[i-1];
        }
        int[][] dp = new int[len+2][len+2];

        // 从下往上枚举
        for (int i = len+1; i >= 0; i--) {
    
    
            // 从左往右枚举 （i < j）
            for(int j = i+1; j < len+2; j++) {
    
    
                // k要在（i,j）范围内
                // 枚举最后一个戳爆的气球
                for (int k = i + 1; k < j; k++) {
    
    
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i][j],dp[i][k] + dp[k][j] + arr[i]*arr[k]*arr[j]);
                }
            }
        }

        return dp[0][len+1];
    }
}