问题：给你一根长度为n的绳子，请把绳子剪成整数长的m段（m、n都是整数，n>1并且m>1），每段绳子的长度记为k[0],k[1],...,k[m]。请问k[0]xk[1]x...xk[m]可能的最大乘积是多少？例如，当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到的最大乘积是18。

输入：长度n

输出：绳子段的最大乘积

思路：

动态规划

定义函数f(n)为把长度为n的绳子剪成若干段后各段长度乘积的最大值，，原问题的最优解可由子问题的最优解组成。

且子问题之间有重叠的子问题，因此采用自下而上（开辟数组存放子问题的最优解）的方法计算出f(2)、f(3)、f(4)...f(n)，输出结果为f(n)。

特殊情况：因为段数大于1，所以绳子长度为2,3时结果分别为1和2。

贪婪

贪心策略：

当n>=5时，尽可能剪出长度为3的绳子，当剩下的绳子长度为4时，剪成两段长度为2的绳子。

最优解证明：

当n>=5时，3*(n-3)>n，2*(n-2)>n并且3*(n-3)>=2*(n-2)当剩下的绳子长度大于等于5时，尽可能剪成长度3的段。

当n为4时，剪成2段长度为2的绳段使乘积最大。

代码：

动态规划

class Solution {
public:
    int cutRope(int number) {
        if(number<2)
            return 0;
        if(number==2)
            return 1;
        if(number==3)
            return 2;
        int* result=new int[number+1];
        result[0]=0;
        result[1]=1;
        result[2]=2;
        result[3]=3;
        int max=0;
        for(int i=4;i<=number;++i)
        {
            for(int j=1;j<=i/2;++j)
            {
                int temp=result[j]*result[i-j];
                if(temp>max)
                    max=temp;
            }
            result[i]=max;
        }
        max=result[number];
        delete[] result;
        return max;
    }
};

贪婪

int cutRope(int number) {
        if(number<2)
            return 0;
        if(number==2)
            return 1;
        if(number==3)
            return 2;
        int result;
        int timesOf3=number/3;
        if(number-3*timesOf3==1)
        {
            --timesOf3;
            return pow(3,timesOf3)*4;
        }
        return pow(3,timesOf3)*(number-3*timesOf3);
    }

复杂度分析：

动态规划算法：时间复杂度，空间复杂度O(n)

贪婪算法：时间复杂度O(1)，空间复杂度O(1)