问题:给你一根长度为n的绳子,请把绳子剪成整数长的m段(m、n都是整数,n>1并且m>1),每段绳子的长度记为k[0],k[1],...,k[m]。请问k[0]xk[1]x...xk[m]可能的最大乘积是多少?例如,当绳子的长度是8时,我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段,此时得到的最大乘积是18。
输入:长度n
输出:绳子段的最大乘积
思路:
动态规划
定义函数f(n)为把长度为n的绳子剪成若干段后各段长度乘积的最大值,,原问题的最优解可由子问题的最优解组成。
且子问题之间有重叠的子问题,因此采用自下而上(开辟数组存放子问题的最优解)的方法计算出f(2)、f(3)、f(4)...f(n),输出结果为f(n)。
特殊情况:因为段数大于1,所以绳子长度为2,3时结果分别为1和2。
贪婪
贪心策略:
当n>=5时,尽可能剪出长度为3的绳子,当剩下的绳子长度为4时,剪成两段长度为2的绳子。
最优解证明:
当n>=5时,3*(n-3)>n,2*(n-2)>n并且3*(n-3)>=2*(n-2)当剩下的绳子长度大于等于5时,尽可能剪成长度3的段。
当n为4时,剪成2段长度为2的绳段使乘积最大。
代码:
动态规划
class Solution {
public:
int cutRope(int number) {
if(number<2)
return 0;
if(number==2)
return 1;
if(number==3)
return 2;
int* result=new int[number+1];
result[0]=0;
result[1]=1;
result[2]=2;
result[3]=3;
int max=0;
for(int i=4;i<=number;++i)
{
for(int j=1;j<=i/2;++j)
{
int temp=result[j]*result[i-j];
if(temp>max)
max=temp;
}
result[i]=max;
}
max=result[number];
delete[] result;
return max;
}
};
贪婪
int cutRope(int number) {
if(number<2)
return 0;
if(number==2)
return 1;
if(number==3)
return 2;
int result;
int timesOf3=number/3;
if(number-3*timesOf3==1)
{
--timesOf3;
return pow(3,timesOf3)*4;
}
return pow(3,timesOf3)*(number-3*timesOf3);
}
复杂度分析:
动态规划算法:时间复杂度,空间复杂度O(n)
贪婪算法:时间复杂度O(1),空间复杂度O(1)