剑指offer 面试题. 剪绳子

题目描述

给你一根长度为n的绳子，请把绳子剪成整数长的m段（m、n都是整数，n>1并且m>1），每段绳子的长度记为k[0],k[1],...,k[m]。请问k[0]xk[1]x...xk[m]可能的最大乘积是多少？例如，当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到的最大乘积是18。

解答：

方法1：

使用动态规划。对于n，可以切为1和n-1，2和n-2.......等等。即递推方程为for(i=1~n-1)，dp[n]=max(dp[n-i]*dp[i],dp[n])

但此题有个要求是m>1，即不能不切，这对小于4的数有影响。2只能切一刀，1*1=1。3切一刀1*2=2。4最大2*2=4，5最大2*3=6，即之后的n分割的乘积就大于等于n自己了。

所以对于小于4的n单独返回，其他n动态规划解决。

 1 class Solution {
 2 public:
 3     int cutRope(int number) {
 4         if(number==2){return 1;}
 5         if(number==3){return 2;}
 6         vector<int> dp(number+1,INT_MIN);
 7         dp[1]=1,dp[2]=2,dp[3]=3,dp[4]=4;
 8         for(int i=5;i<=number;++i){
 9             for(int j=1;j<i;++j){//至少切一刀
10                 dp[i]=max(dp[i-j]*dp[j],dp[i]);
11             }
12             cout<<i<<" "<<dp[i]<<endl;
13         }
14         return dp[number];
15     }
16 };

方法2：

还有一种数学方法，从评论区看到的。是说对于所有的n（n>=4），其最大分割的乘积值都是由2和3乘起来得到的。

来自评论区offer已确定，还差个对象。的思路和代码：

如：

4 ： 2*2

5 ： 2*3

6 ： 3*3

7 ： 2*2*3 或者4*3

8 ： 2*3*3

9 ： 3*3*3

10：2*2*3*3 或者4*3*3

11：2*3*3*3

12：3*3*3*3

13：2*2*3*3*3 或者4*3*3*3

另外不可能有超过两个2出现在结果中。因为3个2的和为6，6可以分解为两个3，3*3=9，2*2*2=8，9>8，所以不可能分割为3个2。

所以首先我们尽量找更多的3，即n/3个3。如果n%3==1，那么只能少拿一个3，和余的1一起分割成两个2。如7%3==1，那么最大=3*2*2

如果n%3==2，那么直接2*pow(2,n/3)。如8%3==2，最大=2*pow(3,8/3)

代码：

 1 long long n_max_3(long long n) {
 2     if (n == 2) {
 3         return 1;
 4     }
 5     if (n == 3) {
 6         return 2;
 7     }
 8     long long x = n % 3;
 9     long long y = n / 3;
10     if (x == 0) {
11         return pow(3, y);
12     } else if (x == 1) {
13         return 2 * 2 * (long long) pow(3, y - 1);
14     } else {
15         return 2 * (long long) pow(3, y);
16     }
17 }