题目

给你一根长度为 n 的绳子，请把绳子剪成整数长度的 m 段（m、n都是整数，n>1并且m>1），每段绳子的长度记为 k[0],k[1]…k[m] 。请问 k[0]k[1]…*k[m] 可能的最大乘积是多少？例如，当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到的最大乘积是18。

思路

动态规划法：定义解的代价dp[i]为长度为i的绳子对应的最大乘积

最优解的结构为：dp[i] = max(i-j,dp[i-j] ) * max(j,dp[j])

数学法：根据数学定理，当所有绳段长度相等时，乘积最大。并且最优的绳段长度为 3 。

代码

/**
     * 动态规划法
     * @param n 绳子长度
     * @return 最大乘积
     */
    public static int cuttingRope1(int n) {
        int[] dp = new int[n+1];
        dp[0] = 0;
        dp[1] = 0;
        // 最优解结构：
        // dp[i] = max(i-j,dp[i-j] ) * max(j,dp[j])
        dp[2] = 1;
        for(int i = 3;i<=n;i++){
            for(int j = 1;j<=i;j++) {
                int max1 = Math.max(dp[i-j],i-j);
                int max2 = Math.max(dp[j],j);
                dp[i] = Math.max(dp[i],max1 * max2);
            }
        }
        return dp[n];
    }

    /**
     * 数学法
     * @param n 绳子长度
     * @return 最大乘积
     */
    public static int cuttingRope2(int n) {
        int a = n/3;
        int b = n%3;
        if(b == 0){
            return (int)Math.pow(a,3);
        }else if(b == 1){
            return (int)Math.pow(a,3-1) * 4;
        }
        return (int)Math.pow(a,3) * 2;
    }