剪绳子
给你一根长度为 n 的绳子，请把绳子剪成整数长度的 m 段（m、n都是整数，n>1并且m>1），每段绳子的长度记为 k[0],k[1]…k[m-1] 。请问 k[0]k[1]…*k[m-1] 可能的最大乘积是多少？例如，当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到的最大乘积是18。
示例 1：
输入: 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1
示例 2:
输入: 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36
来源：力扣（LeetCode）
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动态规划
解题思路：
- 我们想要求长度为n的绳子剪掉后的最大乘积，可以从前面比n小的绳子转移而来
- 用一个dp数组记录从0到n长度的绳子剪掉后的最大乘积，也就是dp[i]表示长度为i的绳子剪成m段后的最大乘积，初始化dp[2] = 1
- 我们先把绳子剪掉第一段（长度为j），如果只剪掉长度为1，对最后的乘积无任何增益，所以从长度为2开始剪
- 剪了第一段后，剩下(i - j)长度可以剪也可以不剪。如果不剪的话长度乘积即为j * (i - j)；如果剪的话长度乘积即为j * dp[i - j]。取两者最大值max(j * (i - j), j * dp[i - j])
- 第一段长度j可以取的区间为[2,i)，对所有j不同的情况取最大值，因此最终dp[i]的转移方程为dp[i] = max(dp[i], max(j * (i - j), j * dp[i - j]))
- 最后返回dp[n]即可
class Solution {
//动态规划
public int cuttingRope(int n) {
int[] dp = new int[n+1]; //从长度为0到长度为n，一共有n+1个长度
int i; //i代表长度为i的线
int j; //j代表剪掉线的长度
dp[2] = 1; //当线长度为2的时候，最大的乘积肯定是1,d[1],d[0]为创建数组的默认值0
//i从3开始，因为小于3的长度的最大乘积很明确,一直遍历到最大的长度，得到dp[i]长度为i的绳子剪成m段后的最大乘积
for(i = 3; i < dp.length; i++) {
//剪掉的长度为j，一直遍历到该绳子的最大长度
for(j = 2; j < i; j++) {
int tmp = Math.max(j*(i-j),j*dp[i-j]); //剪掉j后的长度为i-j，所以乘积就为j*(i-j)
//如果剪掉j后再要继续剪，那么就相当于再从i-j中得出最大乘积，i-j绳的最大乘积就为之前算出来的dp[i-j]
//所以最后直接判断 只剪断j的乘积 和 剪断j后继续再剪的乘积 的最大值就可以
dp[i] = Math.max(dp[i],tmp); //比较前一个剪断j后的最大乘积 和 现在剪断j后的最大乘积，因为j是一直变化的
}
}
//最后只用返回题目需要长度为n的绳子 的最大乘积
return dp[n];
}
}
贪心算法
核心思路是：尽可能把绳子分成长度为3的小段，这样乘积最大
步骤如下：
- 如果 n == 2，返回1，如果 n == 3，返回2，两个可以合并成n小于4的时候返回n - 1
- 如果 n == 4，返回4
- 如果 n > 4，分成尽可能多的长度为3的小段，每次循环长度n减去3，乘积res乘以3；最后返回时乘以小于等于4的最后一小段
- 以上2和3可以合并
class Solution {
public int cuttingRope(int n) {
if(n < 4){
return n - 1;
}
int res = 1;
while(n > 4){
res *= 3;
n -= 3;
}
return res * n;
}
}