题目描述
求出1~13的整数中1出现的次数,并算出100~1300的整数中1出现的次数？为此他特别数了一下1~13中包含1的数字有1、10、11、12、13因此共出现6次,但是对于后面问题他就没辙了。ACMer希望你们帮帮他,并把问题更加普遍化,可以很快的求出任意非负整数区间中1出现的次数（从1 到 n 中1出现的次数）。
思路分析
实话实说，没做出来。看了参考后，才知道规律。
一、1的数目
编程之美上给出的规律：
- 如果第i位（自右至左，从1开始标号）上的数字为0，则第i位可能出现1的次数由更高位决定（若没有高位，视高位为0），等于更高位数字X当前位数的权重10^(i−1)。
- 如果第i位上的数字为1，则第i位上可能出现1的次数不仅受更高位影响，还受低位影响（若没有低位，视低位为0），等于更高位数字X当前位数的权重10^(i−1)+（低位数字+1）。
- 如果第i位上的数字大于1，则第i位上可能出现1的次数仅由更高位决定（若没有高位，视高位为0），等于（更高位数字+1）X当前位数的权重10^(i−1)。
二、X的数目
这里的 X∈[1,9]，因为 X=0 不符合下列规律，需要单独计算。
首先要知道以下的规律：
从 1 至 10，在它们的个位数中，任意的 X 都出现了 1 次。
从 1 至 100，在它们的十位数中，任意的 X 都出现了 10 次。
从 1 至 1000，在它们的百位数中，任意的 X 都出现了 100 次。
依此类推，从 1 至 10i，在它们的左数第二位（右数第 i 位）中，任意的 X 都出现了 10^(i−1) 次。
以 n=2593,X=5 为例。从 1 至 2593 中，数字 5 总计出现了 813 次，其中有 259 次出现在个位，260 次出现在十位，294 次出现在百位，0 次出现在千位。
- 首先是个位。从 1 至 2590 中，包含了 259 个 10，因此任意的 X 都出现了 259 次。最后剩余的三个数 2591, 2592 和 2593，因为它们最大的个位数字 3 < X，因此不会包含任何 5。（也可以这么看，3<X，则个位上可能出现的X的次数仅由更高位决定，等于更高位数字（259）X101-1=259）。
- 然后是十位。从 1 至 2500 中，包含了 25 个 100，因此任意的 X 都出现了 25×10=250 次。剩下的数字是从 2501 至 2593，它们最大的十位数字 9 > X，因此会包含全部 10 个 5。最后总计 250 + 10 = 260。（也可以这么看，9>X，则十位上可能出现的X的次数仅由更高位决定，等于更高位数字（25+1）X102-1=260）。
- 接下来是百位。从 1 至 2000 中，包含了 2 个 1000，因此任意的 X 都出现了 2×100=200 次。剩下的数字是从 2001 至 2593，它们最大的百位数字 5 == X，这时情况就略微复杂，它们的百位肯定是包含 5 的，但不会包含全部 100 个。如果把百位是 5 的数字列出来，是从 2500 至 2593，数字的个数与百位和十位数字相关，是 93+1 = 94。最后总计 200 + 94 = 294。（也可以这么看，5==X，则百位上可能出现X的次数不仅受更高位影响，还受低位影响，等于更高位数字（2）X103-1+（93+1）=294）。
- 最后是千位。现在已经没有更高位，因此直接看最大的千位数字 2 < X，所以不会包含任何 5。（也可以这么看，2<X，则千位上可能出现的X的次数仅由更高位决定，等于更高位数字（0）X104-1=0）。
到此为止，已经计算出全部数字 5 的出现次数。
总结一下最终逻辑：
当计算右数第 i 位包含的 X 的个数时。
- 取第 i 位左边（高位）的数字，乘以 10^(i−1)，得到基础值 a。
- 取第 i 位数字，计算修正值：
- 如果大于 X，则结果为 a+10^(i−1)。
- 如果小于 X，则结果为 a。
- 如果等 X，则取第 i 位右边（低位）数字，设为 b，最后结果为 a+b+1。
代码实现
public static int NumberOf1Between1AndN_Solution(int n) {
int ret = process(n, 1);
return ret;
}
public static int process(int n, int x) {
if (n < 0 || x < 1 || x > 9) {
return 0;
}
int high, low, cur, tmp, i = 1;
high = n;
int total = 0;
while (high != 0) {
//获得第i位的高位=i+1位
high = (int) (n / Math.pow(10, i));
//后续部分
tmp = (int) (n % Math.pow(10, i));
//第i位
cur = (int) (tmp / Math.pow(10, i - 1));
//第i位的低位=i-1位
low = (int) (tmp % Math.pow(10, i - 1));
if (cur == x) {
total += (int) (high * Math.pow(10, i - 1)) + low + 1;
} else if (cur < x) {
total += high * Math.pow(10, i - 1);
} else {
total += (high + 1) * Math.pow(10, i - 1);
}
i++;
}
return total;
}
