1. 题目来源

链接：礼物的最大价值
来源：LeetCode——《剑指-Offer》专项

2. 题目说明

在一个 m*n 的棋盘的每一格都放有一个礼物，每个礼物都有一定的价值（价值大于 0）。你可以从棋盘的左上角开始拿格子里的礼物，并每次向右或者向下移动一格、直到到达棋盘的右下角。给定一个棋盘及其上面的礼物的价值，请计算你最多能拿到多少价值的礼物？

示例 1:

输入:
[
[1,3,1],
[1,5,1],
[4,2,1]
]
输出: 12
解释: 路径 1→3→5→2→1 可以拿到最多价值的礼物

提示：

• 0 < grid.length <= 200
• 0 < grid[0].length <= 200

3. 题目解析

方法一：动态规划+常规解法

简单的 dp 问题，状态转移方程为： $f(i,j)= max(f(i-1,j), f(i,j-1))+gift[i,j]$，其中 $f(i,j)$ 代表到达坐标为 $(i, j)$ 位置时拿到的最大礼物总值，因为 $(i,j)$ 的礼物价值确定，故 $(i,j)$ 格子就由它的上方还有左方的最大礼物总值决定。

同样这也是一个 自上而下 的递归过程，采用记忆化二维数组，进行迭代形式的 自下而上 代码书写，用以提高效率。

参见代码如下：

// 执行用时 :0 ms, 在所有 C++ 提交中击败了100.00%的用户
// 内存消耗 :12.1 MB, 在所有 C++ 提交中击败了100.00%的用户

class Solution {
public:
    int maxValue(vector<vector<int>>& grid) {
        vector<vector<int>> dp(grid.size(), vector<int>(grid[0].size(), 0));
        for (int i = 0; i < grid.size(); ++i) {
            for (int j = 0; j < grid[0].size(); ++j) {
                if (j == 0) {
                    if (i == 0) dp[i][j] = grid[i][j];
                    else dp[i][j] = dp[i - 1][j] + grid[i][j];
                }
                else {
                    if (i == 0) dp[i][j] = dp[i][j - 1] + grid[i][j];
                    else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + grid[i][j];
                }
            }
        }
        return dp.back().back();
    }
};