剑指offer–剪绳子

一、题目描述

二、分析

既然这道题考的是贪心，我们就用贪心来解决，不用其他的方法；

动态规划求解问题的四个特征：
①求一个问题的最优解；
②整体的问题的最优解是依赖于各个子问题的最优解；
③小问题之间还有相互重叠的更小的子问题；
④从上往下分析问题，从下往上求解问题；

• 对于这道题，我们先确定最多可以分得的段数，对于长度为n的绳子（n > 1），如何把它分为整数长的m段（m > 1），
• 对于m，我们最大可以分多少段？---->n段，刚好每段的长度都是1，但是这样最后分得的结果乘积为1，肯定不是最大的。
• 所以m的最大值为绳长n的一半，因为一旦超过绳长的一半，就肯定至少有一段的长度为1，达不到结果乘积最大的目的
• 现在长度为n的绳子最多可以分得的段数已经确定，但是我们怎么确定分为那几个段可以使结果的乘积最大呢？
• 这里就需要才用动态规划的自下而上的求解问题的方式，在这里也算是一种枚举吧，具体点做法是：
• 对于长度为n的绳子，我们先求出长度为1，2，3，4，....，n - 2，n - 1的绳子分为m段的最大乘积结果，那么长度为n的绳子在分为m段的最大乘积结果就肯定是分为1，2，3，4，....，n - 2，n - 1中的某一部分而已
• 那么长度为1，2，3，4，....，n - 2，n - 1怎么求其分为m段的最大乘积呢？这不就满足动态规划的问题了吗？--整体的问题的最优解是依赖于各个子问题的最优解
• 显然base case就是在绳长为2时和3时的情况
• 但是当绳长为2和3也分两种情况：
• 1.绳长n大于3时，子问题：绳长为2 或者3就可以不用分段，这样可以使分段结果乘积更大。
• 2.绳长n小于等于3时，自问题：绳长为2时，最大的结果为1，因为m是大于1 的，就是必须分段，同理当绳长为3时，最大的分段结果为2

三、代码

class Solution {
public:
    int cutRope(int number) {
    	//记录求长度为number前的子长度结果
        vector<int> dp(number + 1);
        
        // number<=3的情况，因为m>1必须要分段，例如：3必须分成1、2；1、1、1 ，
        //number=3最大分段乘积是2,
        if(number == 2)
            return 1;
        if(number == 3)
            return 2;
        
        //下面是number>=4的情况，跟number<=3不同，4可以分很多段，比如分成1、3，
        //这里的3可以不需要再分了，因为3分段最大才2，不分就是3。记录最大的。
        dp[0] = 0;
        dp[1] = 1;
        dp[2] = 2;
        dp[3] = 3;

		//保存结果
        int ret = INT_MIN;
        //主要思想是每次把绳子分为j份，每次分别求最大的乘积
        //再在过程中记录最大值
       for (int i = 4; i <= number; i++) 
       {
            for (int j = 1; j <= i/2 ; j++) 
            {
            	//更新最大值，这里你只看到分为两端，一段j，另一端为i - j
            	//但是j和i - j在之前的计算中同样经历了这样的计算判断
            	//即j和i - j是分为m段中最大最优的结果
            	//所以i同样就是分为m段中最大最优的结果
                ret = max(ret,dp[j] * dp[i - j]);
            }
            dp[i] = ret;
        }
        return dp[number];
    }
};