给定正整数 n,找到若干个完全平方数(比如 1, 4, 9, 16, ...
)使得它们的和等于 n。你需要让组成和的完全平方数的个数最少。
示例 1:
输入: n =12
输出: 3 解释:12 = 4 + 4 + 4.
示例 2:
输入: n =13
输出: 2 解释:13 = 4 + 9.
思路1:动态规划,这道题的递推式规律真的很不好找,这里给出几个例子。
如图所示,红色的字体标出所示,每个完美平方数都是由:另一个完美平方数+一个普通数组成。所以递推公式如下:
dp[i + j * j] = Math.min(dp[i] + 1, dp[i + j * j])
其中dp[i]表示第i个元素的完美平方数的个数。
参考代码:
int numSquares(int n) { int res = 0; int *dp = new int[n + 1]; for (int i = 0; i < n + 1; i++) { dp[i] = INT_MAX; } dp[0] = 0; for (int i = 0; i <= n; i++) { for (int j = 1; (i + j * j) <= n; j++) { dp[i + j * j] = min(dp[i+j*j],dp[i]+1); } } res = dp[n]; delete[] dp; return res; }
思路二:这里用到了四平方和定理,这里任意一个正整数均可表示为4个整数的平方和,其实是可以表示为4个以内的平方数之和,那么就是说返回结果只有1,2,3或4其中的一个,首先我们将数字化简一下,由于一个数如果含有因子4,那么我们可以把4都去掉,并不影响结果,比如2和8,3和12等等,返回的结果都相同,读者可自行举更多的栗子。还有一个可以化简的地方就是,如果一个数除以8余7的话,那么肯定是由4个完全平方数组成。那么做完两步后,一个很大的数有可能就会变得很小了,大大减少了运算时间,下面我们就来尝试的将其拆为两个平方数之和,如果拆成功了那么就会返回1或2,因为其中一个平方数可能为0. (注:由于输入的n是正整数,所以不存在两个平方数均为0的情况)。注意下面的!!a + !!b这个表达式,可能很多人不太理解这个的意思,其实很简单,感叹号!表示逻辑取反,那么一个正整数逻辑取反为0,再取反为1,所以用两个感叹号!!的作用就是看a和b是否为正整数,都为正整数的话返回2,只有一个是正整数的话返回1。
参考代码:
int numSquares(int n) { while (n % 4 == 0) { n = n / 4; } if (n % 8 == 7) { return 4; } for (int i = 0; i <= n; i++) { for (int j = 0; (i*i + j * j) <= n; j++) { if ((i*i + j * j) == n) { return !!i + !!j; } } } return 3; }
时间的提升简直就是bug级别的!!!!!!
给定正整数 n,找到若干个完全平方数(比如 1, 4, 9, 16, ...
)使得它们的和等于 n。你需要让组成和的完全平方数的个数最少。
示例 1:
输入: n =12
输出: 3 解释:12 = 4 + 4 + 4.
示例 2:
输入: n =13
输出: 2 解释:13 = 4 + 9.