对于石子合并问题,有一个最好的算法,那就是GarsiaWachs算法。时间复杂度为O(n^2)。
具体的算法及证明可以参见《The Art of ComputerProgramming》第3卷6.2.2节Algorithm G和Lemma W,Lemma X,Lemma Y,LemmaZ。
它的步骤如下:
设序列是stone[],从左往右,找一个满足stone[k-1] <= stone[k+1]的k,找到后合并stone[k]和stone[k-1],再从当前位置开始向左找最大的j,使其满足stone[j] > stone[k]+stone[k-1],插到j的后面就行。一直重复,直到只剩下一堆石子就可以了。在这个过程中,可以假设stone[-1]和stone[n]是正无穷的。
举个例子:
186 64 35 32 103
因为35<103,所以最小的k是3,我们先把35和32删除,得到他们的和67,并向前寻找一个第一个超过67的数,把67插入到他后面,得到:186 67 64 103,现在由5个数变为4个数了,继续:186 131 103,现在k=2(别忘了,设A[-1]和A[n]等于正无穷大)234 186,最后得到420。最后的答案呢?就是各次合并的重量之和,即420+234+131+67=852。
基本思想是通过树的最优性得到一个节点间深度的约束,之后证明操作一次之后的解可以和原来的解一一对应,并保证节点移动之后他所在的深度不会改变。具体实现这个算法需要一点技巧,精髓在于不停快速寻找最小的k,即维护一个“2-递减序列”朴素的实现的时间复杂度是O(n*n),但可以用一个平衡树来优化,使得最终复杂度为O(nlogn)。
//以上摘抄自https://blog.csdn.net/acdreamers/article/details/18043897
//http://blog.sina.com.cn/s/blog_a825ada90101no1m.html
//以下为AC代码
#include <iostream>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<fstream>
#include<iomanip>
#include<map>
#include<sstream>
#include<cmath>
#include<stack>
#include<list>
# define inf 9999999
using namespace std;
int sum = 0;
//输出vector,只是辅助性函数,和核心算法无关
ostream& operator<<(ostream&out,vector<int>v){
out<<"[";
for(int i=0;i<v.size();i++){
out<<v[i]<<",";
}
out<<"]"<<endl;
}
//核心算法
void stoneMerge(vector<int>&stone){
//cout<<lis<<endl;
if(stone.size()==3){//此时只剩一堆即可输出,剩下两堆为正无穷
cout<<sum;
return;
}
int sumK = 0;//记录两堆合并需要的代价
int k=0;//寻找符合stone[K-1]<=stone[K+1]的K
for(int i=0;i<stone.size()-2;i++){//因为最后一堆是正无穷,所以i最大到最后一堆(正无穷)的前两堆就会符合上述要求 ,所以除非只有一个石头堆不然不会超界
if(stone[i]<=stone[i+2]){
k=i;
sumK = stone[i]+stone[i+1];
stone.erase(stone.begin()+i,stone.begin()+i+2);//这两堆合并后就可以删除了,一般来说可以考虑list结构,删除和插入效率比较高
sum+=sumK;
break;
}
}
//以上步骤就是找K,然后合并的过程
//以下步骤为找符合标准的j,stone[j]>sumK,然后把合并的石头堆插入其后
int index=0;//记录要插入的位置
for(int i=k-1;i>=0;i--){//从合并后的位置往前找
if(stone[i]>sumK){//最前会找到前面的正无穷,使用index总是存在的,最前为0
index=i;
break;
}
}
stone.insert(stone.begin()+index+1,sumK);//插在找到的元素后面
stoneMerge(stone);//一轮轮找完后,继续同步骤
}
int main(){
int n;
cin>>n;
vector<int>stone;
stone.push_back(inf);//前面插一个正无穷
for(int i=0;i<n;i++){
int a;
cin>>a;
stone.push_back(a);
}
stone.push_back(inf);//后面插一个正无穷
//构造stone序列
stoneMerge(stone);
return 0;
}