算法训练安慰奶牛

问题描述

Farmer John变得非常懒，他不想再继续维护供奶牛之间供通行的道路。道路被用来连接N个牧场，牧场被连续地编号为1到N。每一个牧场都是一个奶牛的家。FJ计划除去P条道路中尽可能多的道路，但是还要保持牧场之间的连通性。你首先要决定那些道路是需要保留的N-1条道路。第j条双向道路连接了牧场Sj和Ej(1 <= Sj <= N; 1 <= Ej <= N; Sj != Ej)，而且走完它需要Lj的时间。没有两个牧场是被一条以上的道路所连接。奶牛们非常伤心，因为她们的交通系统被削减了。你需要到每一个奶牛的住处去安慰她们。每次你到达第i个牧场的时候(即使你已经到过)，你必须花去Ci的时间和奶牛交谈。你每个晚上都会在同一个牧场(这是供你选择的)过夜，直到奶牛们都从悲伤中缓过神来。在早上起来和晚上回去睡觉的时候，你都需要和在你睡觉的牧场的奶牛交谈一次。这样你才能完成你的交谈任务。假设Farmer John采纳了你的建议，请计算出使所有奶牛都被安慰的最少时间。

输入格式

第1行包含两个整数N和P。

接下来N行，每行包含一个整数Ci。

接下来P行，每行包含三个整数Sj, Ej和Lj。

输出格式

输出一个整数, 所需要的总时间(包含和在你所在的牧场的奶牛的两次谈话时间)。

样例输入

5 7
10
10
20
6
30
1 2 5
2 3 5
2 4 12
3 4 17
2 5 15
3 5 6

样例输出

176

数据规模与约定

5 <= N <= 10000，N-1 <= P <= 100000，0 <= Lj <= 1000，1 <= Ci <= 1,000。

解题思路

首先此题给的样例有误，请大家务必小心，边应该为7条，最终输出应当为178。此题是典型的最小生成树问题，因此我采用Kruskal算法来进行求解。但是由于我们的节点也是有权值的，因此我们不能够仅从它的边的大小来进行排序，以如下样例为例：

系统会选择我们的1边而不是10边，根据题意分析我们的每个边都至少走两次，所以我们将我们的边权更新为：w[i] = 2*w[i]+c[u[i]]+c[v[i]],边的两倍加上我们的连接节点值即可。最后我们得出kruskal的值加上我们的节点值最小的节点即可。

解题代码

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<queue>
#define rep(i,s,e) for(int i = s;i<e;i++)
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll INF = 1<<30;
const int maxp = 100002;
const int maxn = 10001;
int n,m;
int w[maxp];
int u[maxp];
int v[maxp];
int c[maxn];
int p[maxn];
int r[maxp];
int cmp(const int i,const int j){
    return w[i]<w[j];
}
//p[x]为父亲
int findT(int x){
    return p[x] ==x? x:p[x] = findT(p[x]);
}
ll kruskal(){
    ll ans = 0;
    for(int i = 0 ;i<n;i++) p[i] = i;
    for(int i = 0 ;i<m;i++) r[i] = i;//初始化边序号
    //间接排序我们的边
    sort(r,r+m,cmp);
    for(int i = 0;i<m;i++){
        int e= r[i]; int x = findT(u[e]); int y = findT(v[e]);
        if(x!=y) {ans+=w[e];p[x] = y ;}  //如果在不同集合合并
    }
    return ans;
}
int main(){
    ll ans = 0;
    cin>>n>>m;
    for(int i = 0;i<n;i++){
        cin>>c[i];
    }
    for(int i = 0;i<m;i++){
        cin>>u[i];
        cin>>v[i];
        cin>>w[i];
        u[i]--;
        v[i]--;
        w[i] = c[u[i]]+c[v[i]]+2*w[i];
    }
    int min1 = 100000;
	for(int i = 0; i < n; i++){
		if(c[i] < min1) min1 = c[i];
	}
    min1 += kruskal();
    cout<<min1<<endl;
}