问题描述
每年冬天,北大未名湖上都是滑冰的好地方。北大体育组准备了许多冰鞋,可是人太多了,每天下午收工后,常常一双冰鞋都不剩。
每天早上,租鞋窗口都会排起长龙,假设有还鞋的m个,有需要租鞋的n个。现在的问题是,这些人有多少种排法,可以避免出现体育组没有冰鞋可租的尴尬场面。(两个同样需求的人(比如都是租鞋或都是还鞋)交换位置是同一种排法)
输入格式
两个整数,表示m和n
输出格式
一个整数,表示队伍的排法的方案数。
样例输入
3 2
样例输出
5
数据规模和约定
m,n∈[0,18]
代码如下:
#include <iostream>
using namespace std;
int f(int m, int n) {
if (m < n)
return 0;
if(n == 0)
return 1;
return f(m - 1, n) + f(m, n - 1);
}
int main() {
int m, n;
cin >> m >> n;
cout << f(m, n);
return 0;
}
递归的代码很简单,但网上说的思路都不是特别清楚,自己琢磨了一下。
下面呢来说说我的思路吧。
首先,我将整个问题转化成另一个等价的问题:现有m个1和n个-1,要求将这些数组合成长为m+n的数列,要求满足任意前k(1<=k<=m+n)项的和不能为负数,则共有多少种组合方式?
例如,当m=2,n=2时,满足条件的组合有:
- 1,-1,1,-1
- 1,1,-1,-1
一共有两种组合方式。
我们用f(m,n)来表示上述问题的组合方式的个数。先罗列出部分f(m,n)的结果:
m/n | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | … |
---|---|---|---|---|---|---|---|
0 | \ | \ | \ | \ | \ | \ | |
1 | 1 | 1 | |||||
2 | 1 | 2 | 2 | ||||
3 | 1 | 3 | 5 | 5 | |||
4 | 1 | 4 | 9 | 14 | 14 | ||
5 | 1 | 5 | 14 | 28 | 42 | 42 | |
… |
很显然:
- 当m<n时,无论以哪种组合方式,前m+n项的和是小于0的,因此组合方式为0;
- 当n=0时,组合方式只有1种,就如原题中所述:两个同样需求的人(比如都是租鞋或都是还鞋)交换位置是同一种排法.
那么,对于一般情况下,该怎么求解呢?
我们首先从数列排列的第一个数看,至少满足前1个也就是第1个数大于0,那么数列第一个就只能是1,可是这并不能为我们解题带来什么帮助,因为所有满足条件的数列都会有第一个数为1。
既然开头不行,那我们不妨换成从结尾看,对于结尾也就是第m+n个数,它既可能是1,也有可能是-1,可不论是1还是-1,根据题目条件则必有:满足条件的数列的前m+n-1项数列也是满足条件的一组数列,并且有:
- 对于第m+n个数是1的情况,那么前m+n-1项中共有m-1个1和n个-1,那么这m+n-1个数组成满足条件的数列的个数为f(m-1,n)。
- 同理,对于第m+n个数是-1的情况,那么前m+n-1项中共有m个1和n-1个-1,那么这m+n-1个数组成满足条件的数列的个数为f(m,n-1)。
因此,有f(m,n)=f(m-1,n)+f(m,n-1),并且这个一般规律与上面表格相一致。综上: