二叉查找树(Binary Search Tree),(又:二叉搜索树,二叉排序树)它或者是一棵空树,或者是具有下列性质的二叉树: 若它的左子树不空,则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值; 若它的右子树不空,则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值; 它的左、右子树也分别为二叉排序树。
假设n个节点存在二叉排序树的个数是G(n),令f(i)为以i为根的二叉搜索树的个数,则
当i为根节点时,其左子树节点个数为i-1个,右子树节点为n-i,则
综合两个公式可以得到 卡特兰数 公式
G(n)函数的值被称为 卡特兰数,卡特兰数更便于计算的定义如下:
卡特兰数:
1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452
所求即为:G(n)
class Solution {
public int numTrees(int n) {
int[] dp = new int[n+1];
dp[0] = 1;
dp[1] = 1;
for(int i = 2; i < n + 1; i++)
for(int j = 1; j < i + 1; j++)
dp[i] += dp[j-1] * dp[i-j];
return dp[n];
}
}
官方题解:
class Solution {
public int numTrees(int n) {
// Note: we should use long here instead of int, otherwise overflow
long C = 1;
for (int i = 0; i < n; ++i) {
C = C * 2 * (2 * i + 1) / (i + 2);
}
return (int) C;
}
}