题目要求
给定一个整数 n,求以 1 … n 为节点组成的二叉搜索树有多少种?
示例:
输入: 3
输出: 5
解释:
给定 n = 3, 一共有 5 种不同结构的二叉搜索树:
1 3 3 2 1
\ / / / \ \
3 2 1 1 3 2
/ / \ \
2 1 2 3
题解
https://github.com/soulmachine/leetcode
如果把上例的顺序改一下,就可以看出规律了。
比如,以 1 为根的树的个数,等于左子树的个数乘以右子树的个数,左子树是 0 个元素的树,右子树是 2 个元素的树。以 2 为根的树的个数,等于左子树的个数乘以右子树的个数,左子树是 1个元素的树,右子树也是 1 个元素的树。依此类推。
当数组为 1, 2, 3, …, n 时,基于以下原则的构建的 BST 树具有唯一性:以 i 为根节点的树,其左
子树由 [1, i-1] 构成,其右子树由 [i+1, n] 构成。
定义 f(i) 为以 [1, i] 能产生的 Unique Binary Search Tree 的数目,则
如果数组为空,毫无疑问,只有一种 BST,即空树,f(0) = 1。
如果数组仅有一个元素 1,只有一种 BST,单个节点,f(1) = 1。
如果数组有两个元素 1,2,那么有如下两种可能
再看一看 3 个元素的数组,可以发现 BST 的取值方式如下:
所以,由此观察,可以得出 f 的递推公式为
至此,问题划归为一维动态规划。
class Solution {
public:
int numTrees(int n) {
vector<int> f(n+1,0);
f[0]=1;
f[1]=1;
for(int i=2;i<n+1;++i){
for(int k=1;k<=i;k++){
f[i]+=f[k-1]*f[i-k];
}
}
return f[n];
}
};
公式法
作者:jerry-peng
链接:https://leetcode-cn.com/problems/unique-binary-search-trees/solution/xi-xiang-yi-xia-huan-shi-hen-jian-dan-de-by-jerry-/
明安图数,这就放着看看吧,等万一哪天可能遇到了再来考古。
class Solution {
public:
int numTrees(int n) {
long c = 1;
for(int i = 0; i < n; i++)
c = c * 2 * (2 * i + 1) /(i + 2);
return c;
}
};