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题目

给定一根长度为n的绳子，请把绳子剪成m段（m、n都是整数，n>1并且m>1），每段绳子的长度记为k[0],k[1],…,k[m]。请问k[0]* k[1] * … *k[m]可能的最大乘积是多少？

示例

例如，当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到的最大乘积是18。

问题解析

• 问题是求最优解；
• 整体的问题的最优解是依赖各个子问题的最优解；
• 子问题之间还有互相重叠的更小的子问题；
• 为避免子问题的重复计算，我们存储子问题的最优解。从上往下分析问题，从下往上求解问题。

上面的几个条件可以看出，属于动态规划问题。

贪心解法

如果我们按照如下的策略剪绳子,则得到的各段绳子的长度的乘积将最大;当n>=5,我们尽可能地剪长度为3的绳子;当剩下的绳子长度为4时,把绳子剪为长度为2的绳子.

贪心算法的核心是通过局部最优解来得到全局最优解,对于分割问题来说,要使乘积最大,该问题的贪心思想是尽可能去剪为长度为3的绳子!

最简答的递归代码如下：

class Solution {
public:
    int maxProduct(int n)
    {
        if(n==2)    return 2;
        if(n==3)    return 3;
        if(n<2)     return 0;
        if(n==4)    return 4;

        return 3*maxProduct(n-3);

    }
};

动态规划解法

• 定义函数f(n)表示为把长度为n的绳子剪成若干段后各段长度乘积的最大值。
• 对于第一刀，我们有n-1种可能的选择，可推导出f(n)=max{f(i)*f(n-i)};
• 很明显这是一个从上至下的递归，但是这个递归存在很多重复的计算，所以使用至下而上的动态规划，将子问题的最优解保存。
• 注意绳子剪成ix(n-i)和(n-i)xi是相同的； 注意不符合切割条件的输入n，以及输入为2、3长度时的结果，因为题中规定m>1。

动态规划解法代码如下：

class Solution {
public:
    int maxProduct(int length)
    {
        if (length < 2) return 0;
        if (length == 2) return 1;
        if (length == 3) return 2;

        int* products = new int[length + 1];
        products[0] = 0;
        products[1] = 1;
        products[2] = 2;
        products[3] = 3;

        int max = 0;
        for (int i = 4; i <= length; ++i) {
            max = 0;
            for (int j = 1; j <= i / 2; ++j) {
                int product = products[j] * products[i - j];
                if (max < product)
                    max = product;

                products[i] = max;
            }
        }

        max = products[length];
        delete[] products;

        return max;
    }
};