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C#版 - Leetcode 279. 完全平方数 - 题解

Leetcode 279. Perfect Squares

在线提交:
https://leetcode.com/problems/perfect-squares/

题目描述

给定正整数 n，找到若干个完全平方数(比如 1, 4, 9, 16, …)使得它们的和等于 n。你需要让组成和的完全平方数的个数最少。

示例 1:

输入: n = 12
输出: 3 
解释: 12 = 4 + 4 + 4.

示例 2:

输入: n = 13
输出: 2
解释: 13 = 4 + 9.

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• 贡献者：jianchao.li.fighter

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思路：

首先由四平方和定理(拉格朗日定理) - Wikipedia： 每个正整数都可以表示为至多4个正整数的平方和。 如果把0包括进去，就正好可以表示为4个数的平方和。

比如： $5 = 0^2 + 0^2 + 1^2 + 2^2$,
$7 = 1^2 + 1^2 + 1^2 + 2^2$ (穷举可知7只有这种唯一的展开形式).

根据题意不考虑0，那拿去0后，一个数最后能分成的完全平方数的个数可能是1, 2, 3, 4.

然后，有一个容易得出的结论：
$4 \cdot n = (2\cdot a)^2 + (2\cdot b)^2 + (2\cdot c)^2 + (2\cdot d)^2 \; \Leftrightarrow \; 4^k \cdot n = (2^k \cdot a)^2 + (2^k \cdot b)^2 + (2^k \cdot c)^2 + (2^k \cdot d)^2 \; \Leftrightarrow \; n = a^2 + b^2 + c^2 + d^2 \;(a, b, c, d, k, n \in Z_+)$

另外根据同余的性质以及$x^2 \equiv (-x)^2$可知：
$x^2\equiv (-x)^2 \; \Leftrightarrow \; x^2\equiv (-x)^2\pmod 8$

假如一个数n可表示为 $8\cdot k +7$, 则 $n = x^2\equiv (-x)^2\pmod 8 = 7$，而 $0^2 = 0, 1^2 = 1, 2^2 = 4$,
由于7具有唯一展开形式 $7 = 1^2 + 1^2 + 1^2 + 2^2$ (对应于代码中的path 1)，故此时数n一定只能展开为4个数的平方和.

对于输入的正整数n，首先对n迭代，使$n = \frac{n}{ 4}$, 直到 $\lfloor n/4 \rfloor$ == 0, 剩余的情形(从小到大)如下：
$n = 8\cdot k \quad \; \; \rightarrow 0^2 + 0^2 + 0^2 + 0^2 + 8 = 0^2 + 0^2 + 2^2 + 2^2$ (会据实际情况转换为后面的6种情况之一，因而最后的路径为 path 3, path 2 or path 4).

$n = 8\cdot k +1 \rightarrow 0^2 + 0^2 + 0^2 + 1^2$ (path 2)
$n = 8\cdot k +2 \rightarrow 0^2 + 0^2 + 1^2 + 1^2$ (path 3)
$n = 8\cdot k +3 \rightarrow 0^2 + 1^2 + 1^2 + 1^2$ (path 4)
$n = 8\cdot k +4 \rightarrow 0^2 + 0^2 + 0^2 + 2^2$ (path 2)
$n = 8\cdot k +5 \rightarrow 0^2 + 0^2 + 1^2 + 2^2$ (path 3)
$n = 8\cdot k +6 \rightarrow 0^2 + 1^2 + 1^2 + 2^2$ (path 4)

故已AC代码如下：

public class Solution
{
    public int NumSquares(int n)  // 已知 n>0
    {
        while (n % 4 == 0)
            n /= 4;

        if (n % 8 == 7)
            return 4;   // (path 1)

        for (int i = 0; i * i <= n; i++)
        {
            int r = (int)Math.Sqrt(n - i * i);
            if (i * i + r * r == n)
            {
                if (i == 0 || r == 0)
                    return 1;           // (path 2)

                return 2;   // (path 3)
            }
        }

        return 3;   // (path 4)
    }
}

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