题目：LeetCode 279. 完全平方数

给定正整数 n，找到若干个完全平方数（比如 1, 4, 9, 16, ...）使得它们的和等于 n。你需要让组成和的完全平方数的个数最少。

示例 1:

输入: n = 12
输出: 3 
解释: 12 = 4 + 4 + 4.

示例 2:

输入: n = 13
输出: 2
解释: 13 = 4 + 9.

解题思路：

根据拉格朗日四平方数和定理，即每个正整数均可表为四个整数的平方和(其中有些整数可以为零)，可得推论如果一个正整数 n 等于四个平方数的和，则满足公式 n = 4^a ( 8b + 7 )。

代码：

    int numSquares(int n) {
        //四平方数和定理
        //推论：如果一个数n等于四个完全平方数的和，那么满足 n = 4^a(8b+7)
        
        //根据公式缩小n的范围
        while(n % 4 == 0) n /= 4;
        //如果满足公式，则n由四个平方数和组成
        if(n % 8 == 7) return 4;
        
        int a = 0;
        int b = 0;
        //在缩小范围后，判断n是否可以由一个或两个平方数和组成
        while(a*a <= n){
            b = sqrt(n - a*a);
            //如果n可以由两个平方和组成
            if(a*a + b*b == n){
                //且两个平方和均不为零，则证明其由两个平方和组成
                if(a && b) return 2;
                //否则则由一个平方数组成
                else return 1;
            }
            a++;
        }
        //若此正整数n不能由一个两个或四个平方和组成，则根据四平方数和定理可得
        //其必由三个平方数和组成
        return 3;
    }