题目

给定正整数 n，找到若干个完全平方数（比如 1, 4, 9, 16, …）使得它们的和等于 n。你需要让组成和的完全平方数的个数最少。

示例:

示例 1:

输入: n = 12
输出: 3 
解释: 12 = 4 + 4 + 4.
示例 2:

输入: n = 13
输出: 2
解释: 13 = 4 + 9.

解法一：

      利用队列和广度优先遍历的方法，队列以[(当前节点的值，步数)]的方式存，利用广度优先遍历最先到终点的路线一定是最短路径的特点，来找到最短步数。

示例

class Solution:
    def numSquares(self, n):
        """
        :type n: int
        :rtype: int
        """
        q = list()
        # 创建队列
        q.append([n, 0])
        visited = [False for _ in range(n + 1)]
        # 保存遍历过的结点
        visited[n] = True

        # 遍历队列里的节点
        while any(q):
            num, step = q.pop(0)

            i = 1
            tnum = num - i ** 2
            while tnum >= 0:
                # 最先到达0的一定是步数最少的
                if tnum == 0:
                    return step + 1
                # 只添加没有遍历过的节点
                if not visited[tnum]:
                    q.append((tnum, step + 1))
                    visited[tnum] = True
                i += 1
                tnum = num - i ** 2

执行结果

解法二：

      这种解法是在网上看到的，利用四平方和定理。

Lagrange 四平方定理： 任何一个正整数都可以表示成不超过四个整数的平方之和。
那么我们这个问题的解法就变得很简单了，我们的结果只有1,2,3,4，四种可能。

另外还有一个非常重要的推论

if and only if n is not of the form n=4a(8b+7)n=4a(8b+7) for integers a and b.
满足四数平方和定理的数n（这里要满足由四个数构成，小于四个不行），必定满足 n=4a(8b+7)

我们首先将输入的n迅速缩小。然后我们再判断，这个缩小后的数是否可以通过两个平方数的和或一个平方数组成，不能的话我们返回3，能的话我们返回平方数的个数。
现在我们的问题已经缩减到了，怎么判断一个数是由一个还是由两个平方数的和构成？对于这个问题，我们当然可以暴力破解。

示例

class Solution:
    def numSquares(self, n):
        """
        :type n: int
        :rtype: int
        """
        while n % 4 == 0:
            n /= 4

        if n % 8 == 7:
            return 4

        a = 0
        while a ** 2 <= n:
            b = int((n - a ** 2) ** 0.5)
            if a ** 2 + b ** 2 == n:
                return (not not a) + (not not b)

            a += 1

        return 3

执行结果